92 Kapitel 4, § 1. 



Hiermit ist das Integrationsgeschäft beendet, denn wir haben zwei 

 von einander unabhängige Integralgleichungen erhalten. Benutzen 

 wir ^iX -{- fij^y -{- Vi und X^^ + ^2?/ als neue Veränderliche anstatt 

 X, y, so nimmt offenbar Uf die Form gxp -f w^g an, die sich, da 

 Q=^0 ist, ohne Mühe auf einen der Typen xp -^ q^ und xp reducieren 

 lässt, je nachdem Wg + oder = ist. Im ersteren Fall bleibt im 

 Endlichen nur eine Gerade invariant (vgl. den Typus p -{- yqin. Fig. 8, 

 § 3 des 3. Kap.), es ist dies in den ursprünglichen Veränderlichen die 

 Gerade ^x + ^^y -\- v^^ 0. Dagegen stellt dann ^^x -\- ^^y = Const. 

 ein invariantes Parallelenbüschel dar, dessen unendlich ferner Punkt der 

 noch vorhandene zweite invariante Punkt ist. Im Falle n^ = bleibt 

 (vgl. Typus yq in jener Fig. 8) eine einzelne Gerade A^a; + ft^?/ + Vj = 

 sowie jede Gerade des Parallelenbüschels Agrr + fi,?/ = Const. für sich 

 invariant, wie aus (9) unmittelbar abzulesen ist. 



Wenn die Gleichung /1{q) = zwei gleiche Wurzeln hat, so sind 

 mehrere einzelne Fälle zu unterscheiden, die wir jetzt auch noch behandeln 

 wollen : 



III. J(^q) = hat eine Doppelwurzel ^4=^, und zwar sollen für 

 diese Wurzel nicht alle Glieder von ^(^) verschwinden. Alsdann gehört 



zu Q ein Verhältnis l : fi sowie ein gewisses n. Wir setzen wieder — = v 



Q 



und erhalten als eine Integralgleichung: 



Xxi -j- ^yi-{- v = e^^'^Xx + (ly -{- v). 



Nun benutzen wir Ix -{- fiy -{- v als die eine neue Variabele j und irgend 

 eine hiervon unabhängige lineare Function von x und y als die andere \). 

 Alsdann nimmt das System (5) die Form an: 



§ = <-&, ^ = as, + M,, + c. 



Für die Determinante dieses Systems gelten dann dieselben Voraussetzungen 

 wie für die des ursprünglichen Systems, da diese Voraussetzungen, wie wir 

 sahen und fernerhin sehen werden, einen rein geometrischen Sinn haben. 

 Die neue Determinante lautet: 



Q — Q 



a^: ■ h — Q 



Da nur eine Wurzel q existieren soll, so ist mithin h = q. Ferner ist 

 a 4= 0, weil sonst alle Glieder der Determinante verschwänaen. Die Gleichung 



in der der Anfangswert j die Rolle einer Constanten spielt, ist als lineare 

 Gleichung leicht integrierbar. In £ und t) hat Uf jetzt die Form 



