Die allgemeine lineare Gruppe. 93 



und diese Form ist wegen () =|= 0, a 4= leicht auf den Typus xp -{- (x -{- ij) q 

 reducierbar. Bei diesem bleibt nach dem Früheren nur eine endliche Gerade 

 in Ruhe, es ist dies in den ursprünglichen Veränderlichen die Gerade 

 Xx -{- fiy -\- V == 0. Es existiert ferner keine invariante Geradenschar, 

 der diese Gerade nicht selbst angehört, sodass die Integration nicht weiter 

 vereinfacht werden kann. 



IV. J{q) = hat eine Doppelwurzel () =|= 0, und zwar sollen für 

 diese alle Glieder von ^{q) verschwinden. Es ist hier also: 



«1 = ?J /^i = «2 = 0, ß2 = Q 



und das System (5) lautet: 



Hier ergeben sich die Integralgleichungen: 



X, + * = <*'(x + ?•), J/x + f = Hi> + f), 

 und aus diesen folgt, dass jedes : 



>^^. + m + '^'^ = ^'(^- + M + '-^^) 



wird. Es ist also jede Gerade der Schar: 



Xxi -{- fiUi == Const. 



invariant. Dies deckt sich damit, dass Uf die Form {qx -\- 'yi)p -j- {^y + ySjg 

 hat, die sich ohne weiteres auf xp -j^ yq zurückführen lässt, da () =[= ist. 

 (Vgl. Fig. 8, § 3 des 3. Kap.) 



V. J(^q) = hat die Doppelwurzel 0, für die nicht alle Glieder von 

 ^{q) verschwinden. Dann gehört zu diesem ^ == ein System von Ver- 

 hältnissen von X, f*, n und wir erhalten : 



djlx^ +^yi) _ 

 dt ' ""^^' 

 d. h. als Integralgleichung : 



Xx\ -f- ft^i = Xx + f*2/ + ^^- • 



Ist w =f= 0, so sagt dies aus, dass wir eine invariante Parallelenschar 

 Xx -\- (ly = Const. oder einen unendlich fernen invarianten Punkt, aber 

 keine einzeln invariante Gerade im Endlichen haben. Ist w = 0, so sagt 

 die Gleichung dagegen aus, dass jede Gerade Xx -^ fiy = Const. für sich 

 invariant ist. In beiden Fällen benutzen wir Xx -\- [ly als neues J und 

 eine hiervon unabhängige lineare Function von x und y als neues t), sodass 

 das System die Form annimmt: 



% = "' t = »& + H + '- 



Hier ist die Determinante 



-Q 



b Q 



Sie soll, gleich Null gesetzt, nur die Wurzel ^ ^ haben. Also ist 6 = 0. 



