94 Kapitel 4, §§1, 2. 



Für Q = würden alle Glieder verschwinden, wenn nicht a =)= wäre. 

 In der neuen Form lautet Uf: 



und ist, da =j= ist, auf die Form p -\- xq oder xq reducierbar, je nach- 

 dem w =(= oder n = ist. Die bei diesen Typen invarianten Figuren 

 entsprechen in der That den oben gemachten Bemerkungen. In beiden 

 Fällen ist die Integration der Gleichung : 



-^ = Qi'i + c == a{i + ni) 4- c 



ohne weiteres zu leisten. 



VI. J{q) = hat die Doppel wurzel ^ = 0, für die alle Glieder der 

 Determinante verschwinden. Hier ist also oc^^ = ßi = oc^ = ß^ = und 

 das System lautet: 



dx^ dy■^ 



Es ist sofort integriert: 



xi=x + 7iU yi==y-\-7^J- 



Hier kommt also 



7i^i — yi2/i =72^ — 7iVj 

 d. h. jede Gerade y^x^ — y^y^ = Coust. ist invariant. Uf hat die Form 

 7iP ~\~ 7%1 ^^<^ ist sofort auf den Typus q reducibel. 



Wie man sieht, sind bei der d'Alembert'schen Methode genau die 

 Fälle zu unterscheiden, die den Typen von infinitesimalen linearen Trans- 

 formationen entsprechen. Die Methode besteht eben im wesentlichen darin, 

 dass man die bei Uf invarianten Geraden und Geradenscharen aufsucht. 



§ 2. Die speeielle lineare Gruppe. 



In Satz 2 des vorigen Paragraphen bemerkten wir, dass die lineare 

 Transformalfon, die der Aufeinanderfolge zweier linearer Transforma- 

 tionen mit den Determinanten ^^ und z/g äquivalent ist, die Deter- 

 minante yd^^^ besitzt. Sind /J^ und z/g beide gleich 1, so ist also 

 auch die neue Determinante gleich 1. 



Die Aufeinanderfolge zweier linearer Transformationen mit der 

 Determinante 1 ist mithin wieder einer linearen Transformation mit 

 der Determinante 1 äquivalent. 



Ist S eine lineare Transformation mit der Determinante 1 und 

 S~^ die zu ihr inverse, so ist 



SS-^ = 1. 

 Wenn also S~''- etwa die. Determinante D hat, so kommt, da die 

 identische Transformation die Determinante 1 besitzt: 



1D = 1, 



