Die specielle lineare Gruppe. 95 



d. h. D = 1. Die zu einer linearen Transformation mit der Deter- 

 minante 1 inverse lineare Transformation besitzt somit ebenfalls die 

 Determinante 1. 



Aus diesen Bemerkungen folgt: 



Satz 7 : Alle linearen Transformationen mit der Determinante 1 spocieiio 



7, -7 7 • /^ • lineare 



bilden eine Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. Gruppe. 



Wir nennen sie die specielle lineare Gruppe. Ihre allgemeinen Glei- 

 chungen lauten : 



^1 = «1^ + hy + Ci, Vi = «2^ + hy + c^, 



doch sind die sechs Coefficienten an die Relation gebunden : 



-^^«l&2 — «2^1 = 1- 



Die Gruppe enthält folglich nur fünf wesentliche Constanteu, sie ist 

 fünfgliedrig und also eine fünfgliedrige Untergruppe der allgemeinen 

 linearen Gruppe und auch der allgemeinen projectiven Gruppe. 



Ihre identische Transformation geht hervor, wenn «^ = &^ = 1, 

 «2 = ^1 = Cy = c.^ = gesetzt wird, ihre allgemeine infinitesimale also ^"^ ''"'■*"«- 



, . " formatiou 



dadurch, dass wir setzen : derselben. 



«1 = 1 -j- ttydt, l\ == ßi^dt, Cj = y^dt 



Dann kommt wie früher: 



Uf=(cc,x + ß^y + y,)p + {k^x + ß,y + y,)q. 

 Doch soll «i&g — «2^1 == 1 sein, also: 



l-j-a^dt ß,dt I 



«2^^ 1 + ß^^t I ~ 



Dies liefert, da wir nur die unendlich kleinen Glieder erster Ordnun»- 

 zu berücksichtigen brauchen : 



1+K + ^2)^^=1, 

 also: 



ß2 = — OCy, 



sodass kommt: 



Uf= {a,x -f ß,y + yy)p + {a,x — a,y + y,)q_. 

 Hierin sind a^, ß^, y^, a^, y.^ völlig willkürlich. Also: 



Satz 8 : Die allgemeinste infinitesimale Transformation der speciellen 

 linearen Gruppe ist linear ableitbar aus den fünf von einander unab- 

 hängigen : 



p, q, xq, xp — yq, yp. 



Bezeichnen wir diese der Reihe nach mit Uif- • C/g/", so bemerken 

 wir, dass jedes (UiUk) wieder aus UJ- • UJ linear ableitbar ist. Auf 

 diese Bemerkung kommen wir später zurück. 



