96 Kapitel 4, § 2. 



'ec'iinea^re UnsGre Gi'uppe enthält oo^ infioitesimale Transformationen (da 



Tranafonn., ^jj- ^jjj Const. üf als identiscli betrachtet werden). Jede derselben 



erzeugt von ' ' / 



einer infinit. gj.2eugt eine eingliedrige Gruppe von oo^ endlichen linearen Trans- 

 formationen. Es steht zu vermuten, dass diese endlichen Transfor- 

 mationen der speciellen linearen Gruppe angehören. 



Um dies zu beweisen, kehren wir auf einen Augenblick zu einigen 

 Formeln des vorigen Paragraphen zurück. Wir fanden dort, dass die 

 in den endlichen Gleichungen 



x^ = a^x -f \y + Ci, 2/i = «2^ + \y + ^2 

 der eingliedrigen Gruppe 



Uf= {a^x + ß^y + y^)]ß -f {a^x + ß^y -f y^)q 



auftretenden Functionen a^, h^, q, a.2, b^, c^ von t den Gleichungen (4) 

 genügen. Nach denselben ist nun : 



— «2 («1^1 + ßlh) — &l(«2«l + /32«2) 



= (^2 + «i)K&2 — «2&1) = («1 + /^a)^, 

 also, wenn integriert und dabei bedacht wird, dass sich für t = 

 üy, &j, «27 ^2 ^62;. auf 1, 0, 0, 1, also z/ auf 1 reduciert: 



^ = e(ai-l-/^»)':. 



Gehört nun XJf der speciellen linearen Gruppe an, d. h. ist «1 + 132 = 0, 

 so kommt z/ = 1. Jede endliche Transformation der eingliedrigen 

 Gruppe TJf hat dann also die Determinante 1. 



Satz 9 : Die von einer infinitesimalen Transformation der speciellen 

 linearen Gruppe erzeugte eingliedrige Gruppe besteht aus Transformationen 

 der speciellen linearen Gruppe. 



Da, wie in § 1 bewiesen wurde, jede endliche lineare Transfor- 

 mation von einer infinitesimalen linearen Transformation erzeugt wird, 

 so können wir diesen Satz erweitern zu dem 

 specieiie Theoieiii 9: Die 00* infinitesimalen Transformationen der 



lin. Gruppe, 



erzeugt ^on specicllen linearen Gruppe der Ebene erzeugen diese fünf- 

 gliedrige Gruppe. Dieselbe zerfällt dementsprechend in 00^ ein- 

 gliedrige Untergruppen, und jede endliche lineare Transforma- 

 tion mit der Determinante Eins gehört einer oder einer discreten 

 Anzahl derselben an. 



Wir könnten hier wie in § 1 die innerhalb der speciellen linearen 

 Gruppe gleichberechtigten, d. h. durch eine lineare Transformation mit 

 der Determinante Eins in einander überführbaren eingliedrigen Gruppen 

 auf typische Formen zurückführen. Wir wollen uns jedoch statt dessen 



