Die specielle lineare Gruppe. 



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ein anderes Problem stellen, zu dem wir im Bisherigen noch kein 

 Analogon gegeben haben. 



Zunächst bemerken wir, dass eine lineare Transformation 

 (10) Xi = a^x-\-hyy -i-Ci, y^ = a^x -}- b.^y -\- c.^ 



wie jede andere Transformation gleichzeitig alle Punkte der Ebene in 



neue Lagen überführt. Wir greifen irgend drei Punkte (x, y), {x , y), 



{x"j y") heraus, die bei der linearen Transformation (10) etwa in die 



Lagen {x^, y^, (x^, t//), {xi", y^') übergehen mögen. Dann ist: 



X, = a^x + \y + Ci, y^ = a^x + h^y + c^, 



x^' = a^x + \y + Ci, i/i' = a^x + \y + c^, 



x^'= a^x'-\- \y'-\- q, yi'= a^x'-\- \y' -\- c^, 



also nach dem Multiplicationsgesetze der Determinanten : 



oder: 



wenn a^ h^ 



a^\ wie früher mit z/ bezeichnet wird. Die Function 

 1 1 1 



/y» /y /v^ 



•X/ tX/ *v 



y y y" 



der Coordinaten der drei ursprünglichen Punkte geht also vermöge 

 der Transformation mit der Determinante z/ in die entsprechende 

 Function der Coordinaten der neuen Punkte, die wir J^ nennen, über, 

 aber noch multipliciert mit z/: 



J, = ^ J. 



Deuten wir dies geometrisch. J ist bekanntlich der doppelte 

 Inhalt des von den drei ursprünglichen Punkten gebildeten Dreiecks, 

 Jj entsprechend der doppelte Inhalt des von den transformierten 

 Punkten gebildeten Dreiecks oder kurz des transformierten Dreiecks 

 (indem die Seiten des ersten Dreiecks genau in die des neuen Drei- 

 ecks übergehen). Also ändert die lineare Transformation (10) den 

 Inhalt aller Dreiecke nach constantem, durch z/ gemessenem Verhält- 

 nisse. Ist insbesondere z/ = 1, so ist J^ = J. 



Da jedes Flächenstück aus Dreiecken zusammengesetzt werden 

 kann, so hat sich ergeben: 



Lie, Continuierliche Gruppen. 7 



