98 Kapitel 4, § '2. 



inatton^°der ^^^^ ^^ ' '^^'^^ lineare Transformation mit der Determinante /i 



TiiTiitr <^'^^^^^ ^^^"2 Flächminhalte in dem constanten Verhältnis z/ : 1, Eine 

 specielle lineare Transformation lässt alle Flächeninhalte ungeändert. 



Man kann sich fragen, welche projectiven Transformationen über- 

 haupt die Flächeninhalte nach constantem Verhältnis ändern. Ohne 

 auf die analytische Ableitung einzugehen, begnügen wir uns mit 

 einer geometrischen Überlegung : Eine projective Transformation, die 

 eine im Endlichen gelegene Gerade in die unendlich ferne überführt, 

 verwandelt gewisse Dreiecke offenbar in unendlich grosse. Demnach 

 muss die gesuchte Transformation die unendlich ferne Gerade in sich 

 überführen, also linear sein. Daher: 



Satz 11 : Die allgemeine lineare Gruppe Gesteht aus allen projectiven 

 Transformationen, welche die Flächeninhalte nach irgend einem constanten 

 Verhältnis ändern, die specielle lineare Gruppe insbesondere aus allen, 

 welche diese Inhalte ungeändert lassen*). 



Der doppelte Flächeninhalt J ist eine Function der Coordinaten 

 dreier Punkte. Er bleibt bei jeder Transformation der speciellen 

 linearen Gruppe invariant, und wir sagen daher, die Function J ist 

 Invariante, eine Invariante der speciellen linearen Gruppe. 



Fragen wir nach allen Functionen q)(x, y, x, y , x', y") der sechs 

 Coordinaten, welche bei allen Transformationen der speciellen linearen 

 Gruppe invariant bleiben, d. h. für welche vermöge jeder speciellen 

 linearen Transformation 



(p(xi, y„ xl, y;, <', «//') = (fix, y, x\ y , x", y") 



ist. Eine solche Function müsste zunächst bei der allgemeinen infini- 

 tesimalen Transformation 



Uf^ ap -{-hq -\- cxq -j- d(xp — yq) + eyp 



der speciellen linearen Gruppe ungeändert bleiben. Diese aber erteilt 

 X, y die Incremente: 



d x ^^ {a -{- dx -{- ey)dt, öy^[h-^cx — dy)8t 



und analog x', y die Incremente: 



dx E^ (a + dx + ey) 8t, 8y ^ (& -f ex — dy) 8 1 



und endlich x", y" diese: 



8x"={a-\-dx"+ ey")8t, 8y" =(1 -[- ex" — dy")8t, 



also auch (p den Zuwachs, wenn wir ihn durch 8t dividieren : 



*) Vgl. hierzu „Diffgln. m. inf. Trf." Kap. 4, § 4. 



