Die specielle lineare Gruppe. 



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' dcp 



(ii: 



dx 

 dcp 



dcp 



^f ^ (a + rf:r + cy) ^^ -^ (h -]- ex - dy) ^ + 



+ (« + äx + ey)^ + (ft H- ex - dy)"^ + 



f,-. dcp 



+ (a + dx"+ey")^^ + (6 + ^:r"-c?/'j|f^- 



Dieser soll Null sein, wie auch %,, &, c, <?, e gewählt sein mögen. Es 

 soll also einzeln sein: 



Ccp 



dx 



+ 



Ocp 



dx' 



+ 



dcp 



dx" 



0, 



(12) { 



ccp 



ccp 



X ~ 4- X — ^ + X 



ex ^ ex ' 



dcp , , dcp 

 ^ dx ^ '^ dx ' 



dcp 

 dx" 



dcp 



dcp 



dy 

 dcp 

 ~dy 



dcp 



+ X 



dcp 

 W 



dcp 



4_ z:^ ==Q 



dy 

 dcp 



dcp . ,, 

 dy' ' dy" 



0, 



cy y Pill' 



dcp 

 dy' 



•^ dy ' 



= 0. 



Offenbar sind die linken Seiten nichts anderes als die durch dt divi- 

 dierten Incremente, welche (p bei den fünf einzelnen infinitesimalen 

 Transformationen p, g, xq, xp — yq, yp erfahrt, aus denen sich be- 

 kanntlich üf linear ableiten lässt. 



Aus einem allgemeinen Satz über vollständige Systeme von linearen 

 homogenen Differentialgleichungen, auf den wir hier nicht eingehen 

 wollen, folgt ohne weiteres, dass es eine Function cp giebt, welche die 

 Forderungen (12) erfüllt, und dass jede andere Function 9, welche 

 (12) genügt, eine Function dieser einen allein ist. Nun aber wissen 

 wir, dass J eine Function ist, die sicher die Gleichungen (12) erfüllt. 

 Daher ist jede Function der Coordinaten dreier Punkte, welche bei 

 allen infinitesimalen Transformationen der speciellen linearen Gruppe 

 invariant bleibt, eine Function des Flächeninhaltes des Dreieckes der 

 drei Punkte. Offenbar ist jede solche Function auch bei jeder end- 

 lichen speciellen linearen Transformation invariant. 



Übrigens bemerken wir, dass das System (12) ohne Mühe inte- 

 griert werden kann. Nach den beiden ersten Gleichungen enthält (p 

 nur X — x, X — x", y — y, y — y" . Führt man diese Differenzen als 

 Veränderliche ein, so nehmen die drei letzten Gleichungen sehr ein- 

 fache Formen an. Die zweite derselben ergiebt, dass (p eine Function 

 von (x — x'){y — y), {x — x"){y — y") und {x — x'){y — y") — 

 {x — x"){y — y') allein ist, während darauf die beiden noch übrigen 

 zeigen, dass cp nur die letzte dieser drei Grössen, die nichts anderes als J 

 ist, enthält. Der Leser möge die genaue Ausrechnung selbst durchführen. 



