100 Kapitel 4, §3. 



§ 3. Die Gruppe der Bewegungen. 



Die in § 1 und § 2 betrachteten Untergruppen der allgemeinen 



projeetiven Gruppe der Ebene waren dadurch charakterisiert, dass sie 



alle Flächeninhalte proportional änderten bez. ungeändert liessen. Wir 



Projective ^vollen nuumehr alle proiectiven Transformationen ins Auge fassen, 



Transform., jr j , o } 



cue Ent- wclchc die Entfernungen je zweier Punkte invariant lassen, also zwei 

 fernungen Punj^te stets in fflcicliweit von einander entfernte neue Punkte über- 



invariant ~ 



lassen, führen. Offenbar kann eine solche projective Transformation keine im 

 Endlichen gelegenen Punkte ins Unendlichferne transformieren, denn 

 sonst würden gewisse Strecken unendlich gross. Sie muss also linear 

 sein. Die lineare Transformation 



a?i = a^x + b^y + c^, y^ = a^x + h^y + c^ 



führt nun den Punkt {x, y) in den Punkt {x^, y^) über und ferner 

 der Punkt (x\ y) etwa in den Punkt (a?/, y^'). Alsdann ist: 

 x^' = a^x + &1 «/' + Ci , 2// = «2^;' + &2Ü/' + c^. 



Das Quadrat des Abstandes der beiden transformierten Punkte von 

 einander ist also : 



{x^ — xlj + (2/1 — ylf = \a^{x - x) + &i(«/ — y)f + 

 + \_a^{x — x) -\-\^y — y)f' 

 Es soll gleich dem Quadrat der Entfernung der ursprünglichen Punkte 

 von einander, d. h. gleich 



{x — x'Y + (2/ — y'Y 



sein und zwar für alle Werte der Coordinaten x, y, x, y. Es muss 

 daher notwendig : 



«1' + «/ = !; &a' + V=l; 

 %&! + a^b^ = 

 sein. Die beiden ersten Gleichungen werden in allgemeinster Weise 

 dadurch befriedigt, dass wir setzen : 



tti == cos a, »2 = sin a, b^ = cos ß, 63 = sin ß. 



Alsdann giebt die dritte: 



cos (a — ß) == 0, 

 d.h. 



^-« + (2^+l)f- 



Hierin bedeutet x eine positive oder negative ganze Zahl. Mithin 



ist nun: 



bi = {—ly+^sina, b^ = {—l)" cosa. 



Also haben wir entweder zu setzen: 



