Die Gruppe der Bewegungen. 101 



«1 = COS a, «2 "== ^i^ "j 



h^ = — sin a, h.^ = cos a 

 oder 



o^ = cos a, ^2 = sin a, 



\ = sin a, &2 = — ^0^ "• 



Bezeichnen wir noch Cj und Cg mit a und fc, so lautet unsere gesuchte 

 Transformation im ersten Falle : 

 (13) a^i = ic cos a — y sin a -\- a, y^ == x sin a -{- y cos a -j- h 



und im zweiten : 



(13') x^ = X cos a -\- y sin a -}- a, y^ = x sin a — y cos a -{- b. 



Es giebt also zwei Scharen von projectiven Transformationen, sf^re^ 

 welche alle Entfernungen ungeändert lassen, nämlich die Schar (13) derselben. 

 und die Schar (13'). Offenbar bilden alle derartigen Transformationen 

 eine Gruppe, denn führt man nach einander zwei solche Transforma- 

 tionen aus, so werden die Entfernungen nicht geändert, die der Auf- 

 einanderfolge äquivalente projective Transformation lässt demnach 

 auch die Entfernungen invariant und gehört der Gesamtheit jener 

 Transformationen an. Auch enthält diese Gruppe zu jeder ihrer Trans- 

 formationen die inverse, denn die durcji Auflösung von (13) oder (13') 

 entstehende Transformation hat wieder die Form (13) bez. (13'). 



Wir nennen jedoch diese Gruppe nidd-continuierlich, weil sie aus ^^^^^^^g*;^''.^^; 

 zwei getrennten continuierlichen Scharen von Transformationen be- ^"'ppe. 

 steht. Denn die beiden Schaaren (13) und (13') haben einen ver- 

 schiedenen analytischen Ausdruck, 



Unmittelbarer tritt dies hervor, wenn man die Gleichungen (13) 

 und (13') geometrisch deutet. Man kann die durch (13) vermittelte 

 Transformation offenbar dadurch herstellen, dass man die ganze starr 

 gedachte Ebene um den Winkel a um den Punkt {a, b) in positivem 

 Sinne dreht. Die Transformation (13) kann also durch eine Rotation 

 der Ebene in sich hergestellt werden. Nicht so (13'). Hier werden 

 wir zunächst die ganze Ebene etwa um die x-Axe umgeklappt denken, 

 wodurch ^ in — y, also (13') in : 



x^ = X cos a — y sin a -}- a, y^ = x sin a -{- y cos a -\- h 



übergeht. Alsdann wird eine Rotation um den Punkt {a, b) mit dem 

 Drehwinkel a die Überführung in die neuen Punkte (x^, y^) beenden. 

 Jede Transformation (13') kann somit als eine Umklappung und darauf 

 folgende Rotation aufgefasst werden. Eine Transformation (13) ver- 

 wandelt alle Figuren in der Ebene in congruente, eine Transfor- 

 mation (13') in symmetrische. 



