102 Kapitel 4, § 3. 



Wir wollen nun nur diejenigen unserer Transformationen be- 

 trachten, welche keine ümklappung der Ebene bewirken, also nur die 

 Transformationen (13). Auch diese bilden für sich eine Gruppe, denn 

 aus den beiden Transformationen 



x^ = X co^ cc — y sin a -{■ a, y^ = x sm a -^ y q.os a -\- l 

 und 



x^ = x^ cos Uy — y^ sin a^ -\- a^, y^ = x^ sin a^ -\- y^ cos a^ -\- t^ 



folgt durch Elimination von x^ und y^ : 



x.^ = X cos {a + «i) — 2/ sin (o; + c^i) + « + %> 

 y^=x sin (a + «i) + 2/ cos (a + a^) + ^ + &i> 

 also wieder eine solche Transformation. Ferner ist die zur Trans- 

 formation (13) inverse wieder von der Form (13). Es stellt also (13) 

 coutinuieri.g^-^^g continnierlicJie Gruppe mit paarweis inversen Transformationen dar. 

 Jede Transformation, welche alle Strecken in gleich grosse Strecken 

 verwandelt, führt natürlich eine beliebige Figur in eine ihr congruente 

 oder zu ihr symmetrische über. Im ersteren Falle können wir die 

 Transformation dadurch herstellen, dass wir eine Strecke nach ihrer 

 neuen Lage führen und uns die ganze Ebene starr mit dieser Strecke 

 Bcwogiiug. verbunden denken. Jede solche Transformation heisst eine Bewegung 

 der Ehene in sich. Der Begriff „Bewegung" ist also in seiner scharfen 

 Bedeutung dem Begriff „Transformation" untergeordnet. Entsprechend 

 Gruppe nennen wir die Gruppe (13) die Gruppe der Beivequngen der Ehene in sich. 



der Beweg- , v . i i • 



ungen. Zwci Transformationen (13) stimmen nur dann überem, wenn in 



beiden a, a, h dieselben Werte haben. Alle drei Parameter a, a, h 

 sind deshalb wesentlich : Es giebt c»^ Bewegungen der Ebene in sich, 

 die Gruppe ist dreigliedrig. Da die Gruppe zu jeder ihrer Transfor- 

 mationen die inverse enthält und die Aufeinanderfolge beider einer- 

 seits der Gruppe angehören muss, andererseits die identische Trans- 

 formation ist, so folgt, dass es Werte der Constanten a, a, h geben 

 muss, für welche sich die Gleichungen (13) auf x^ = x, yi = y redu- 

 cieren. In der That sind dies die Werte a = 2z7t, a = h = 0. ^ be- 

 deutet hier irgend eine positive oder negative ganze Zahl. 



In allgemeinster Weise erhalten wir demnach eine infinitesimale 

 Transformation der Gruppe, wenn wir 



a = 2x7t -j- kdt, a = ^dt, b = vdt 

 setzen. Dann kommt, da 



sm {zun -\- Aot) == sin Aot = — 1.2.3 "r" ' ' * ' 



cos (2xar -\- Idt) = cos Ad^ =1 —-^ + • • • 



ist: 



