Die Gruppe der Bewegungen. 103 



8y^y,-y^x['l'--) + y{-'^+-) + v8t. 



Setzt man hierin die unendlich kleinen Glieder erster Ordnung gleich 

 Null, d. h. A = ft = V = 0, so verschwinden alle Glieder rechts. Es 

 kommen also in beiden Entwickelungen, sobald sie nicht ganz ver- 

 schwinden, nicht verschwindende Glieder erster Ordnung vor. Diesen 

 gegenüber sind die von höherer Ordnung zu vernachlässigen. Es 



kommt also : 



8x = {—ly ■\- ii)8t, dy = {lx-{-v)dt. 



Daher lautet die allgemeinste infinitesimale Bewegung: Bo^vegung- 



(— ly + a)p + {Ix + v)q 



oder 



Uf= k{xq — yp) + up -f- vq. 



Sie ist linear ableitbar aus den drei von einander unabhängigen infini- 

 tesimalen Bewegungen 



p, q, xq — yp. 



Bezeichnet man diese mit Uj] U^f, U^f, so ist 



Die Klammerausdrücke sind also wieder infinitesimale Bewegungen, 

 was wir hier anmerken, um später darauf zurückzukommen. . 



Jede der oo^ infinitesimalen Bewegungen 



Uf= k{xq — yp) -\- iip-^vq 

 erzeugt nun eine eingliedrige Gruppe von oo^ endlichen projectiven 

 Transformationen. Dass auch diese Bewegungen sind, ist leicht ein- 1^^^^^*^«^!^'^ 

 zusehen. Denn man braucht nur zu zeigen, dass die Integralgleichungen ^^f^f^i"^^;«;'" 

 des simultanen Systems wegungea. 



äx^ ^ äy^ ^ ^^ 



welche die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe üf sind, 

 die Form 



x^ = X to^ a - ^ sin « + a, «/^ = ä; sin a + ?/ cos a + & 



besitzen, in der a, a, b gewisse Functionen von t bedeuten. Offenbar 

 sind a, a, h als solche Functionen von t zu wählen, welche den 

 Gleichungen : 



^ = (— a; sin « — !/ cos a) ^ + ll = — A(a; sin a + 1/ cos a + 6) + fi 



^ = ( a;cosa - wsin «) ^ + ^ = A(a;cosa — y sin a + «) + '' 

 dt ^ ^ dt ' dt 



