Die Gruppe der Bewegungen. lOö 



(17) Xi= X -\- ^t, y^=y -{- vt 



erzeugt, die auch Bewegungen sind. 



Satz 12 : Jede infinitesimale Bewegung erzeugt eine eingliedrige j^e^^eg^Jög 

 Gruppe von Bewegungen. Diese besteht entweder aus allen Botationen l^^'''°§l^°^ 

 um einen festen PunM oder aus allen Translationen längs einer festen 

 Bichtung. 



Es liegt nahe, die Translationen als Rotationen um einen un- 

 endlich fernen Punkt aufzufassen. 



Liegt nun umgekehrt irgend eine Bewegung (13) vor, so gehört 

 sie sicher einer dieser eingliedrigen Gruppen an. Dies erhellt daraus, 

 dass sie in der Form (15') oder (17) geschrieben werden kann. Ist 

 a =1= 2«;r, so hat man zu dem Zwecke nur m und n zu bestimmen aus 

 den Gleichungen : 



n cos tt -f- ni sin a — n = a, 

 w sin a — m cos a -j- 1)1= h, 



was immer möglich ist. Wenn a = 2xn ist, so hat (13) unmittelbar 

 die Form (17). 



Satz 13 : Jede endliche Bewegung wird eiittveder von einer infni- 

 tesimalen Botation oder von einer infinitesimalen Translation erzeugt. 



Es ist klar, dass jede Bewegung der Ebene als Rotation oder 

 Translation aufgefasst werden kann. Wegen der Gruppeneigenschaft 

 fliesst hieraus das Ergebnis : 



Satz 14: Die Aufeinanderfolge ziveier Botationen oder Translationen 

 ist einer einzigen Botation oder Translation äquivalent. 



Dies lässt sich übrigens auch geometrisch ohne Mühe einsehen. 



Die Bahncurven einer eingliedrigen Gruppe von Bewegungen sind 

 concentrische Kreise oder parallele Geraden. 



Gleichberechtigt innerhalb der Gruppe aller Betvegungen werden wir /gr^Grappo 

 zwei eingliedrige Gruppen von Bewegungen dann nennen, wenn sie ^^e^imgen 

 durch eine Bewegung in einander übergeführt werden können. Nacli efngLUntor- 

 Satz 9 in § 2 des 3. Kap. wird jede Rotation, jede Bewegung also, »'«pp«"»- 

 die einen Punkt in Ruhe lässt, durch eine Bewegung wieder in eine 

 Rotation übergeführt. Mithin ergiebt sich, da es stets Bewegungen 

 giebt, welche einen bestimmten Punkt in einen anderen bestimmten 

 Punkt verwandeln, dass alle eingliedrigen Gruppen von Rotationen mit 

 einander, also auch etwa mit der der Rotationen um den Anfangspunkt 



xq — yp 



L^leichberechtigt sind, und dass die eingliedrigen Gruppen von Trans- 



