106 Kapitel 4, § 3. 



lationen für sich eine Schar gleichberechtigter eingliedriger Gruppen 

 bilden, als deren Typus gewählt werden kann: 



Theorem 10: Die Gruppe aller Bewegungen der Ebene zer- 

 fällt in oo^ eingliedrige Untergruppen, und jede endliche Be- 

 wegung gehört einer derselben an. Jede der oo^ eingliedrigen 

 Untergruppen ist vermöge einer Bewegung üierführhar in einen 

 der Typen: 



^Q — yp, Q- 



Wir wollen schliesslich hier, wie in § 2 bei der speciellen linearen 

 luvarianto. Gruppe, gewissB bei allen Bewegungen invariante Functionen aufsuchen: 

 ^"Iwäf" ^^ ^^^^^ (^' y) ^^^ i^'y y) ^^^i beliebige Punkte. Durch irgend 



Punkte gjjjg Bewegung der Ebene werden sie etwa in die Punkte {x^, y^) und 

 ix^, yi) übergeführt. Fragen wir uns, welche Functionen cp von 

 X, y, x, y bei allen Bewegungen ungeändert bleiben, also die Be- 

 dingung erfüllen : 



^>{x^, y,, X,', y^) = (p{x, y, x, y). 



Eine solche Function muss insbesondere bei der allgemeinen infini- 

 tesimalen Bewegung 



Uf= l{xq — yp) -f iip + vq 

 ungeändert bleiben. Diese erteilt x, y die Incremente 



dx = {— ly -\- ii)dt, dy = (Ix -\- v)8t 

 und analog x, y diese: 



dx = { — Xy'-\-ii)8t, dy = (Xx-\-v)dt. 

 (p erfährt also den durch dt dividierten Zuwachs: 



^^^4f = (- ^2/ + .») H + (>■- + «') l| + 



Er soll Null sein für alle Uf, d. h. für alle Werte der Constanten A, jü, v. 

 . Demnach soll einzeln sein: 



dcp _, d(p , dcp , d(p ^ 



•^ ex ^ oy "^ ox ' oy ' 



dx "^ dx ~ ^' 



aqp 1^ = 



dy ' «? 2/ 



Offenbar sind die linken Seiten nichts anderes als die durch dt divi- 



