Die Gruppe der Bewegungen. 107 



dierten Incremente, welche (p bei den drei von einander unabhängigen 

 infinitesimalen Bewegungen xq — yp, p, q erfährt, aus denen Uf linear 

 ableitbar ist. Das Verschwinden dieser drei Incremente zieht das Ver- 

 schwinden des allgemeinen Incrementes ü(pdt nach sich. 



Wir haben hier drei Gleichungen für q) mit vier Veränderlichen. 

 Sie bilden ein sogenanntes vollständiges System, und aus der Theorie 

 der vollständigen Systeme ist unmittelbar zu entnehmen, dass alle 

 Functionen q), welche diese drei Gleichungen erfüllen, dargestellt werden 

 können als Functionen einer einzigen derselben. Nun aber wissen wir, 

 dass der Abstand zweier Punkte eine Invariante ist. Mithin ist jede 

 Lösung cp dieser Gleichungen eine Function von 



{x — x'Y -\- {ij — y'f 



allein. Der Leser möge dies durch directe Integration der drei Glei- 

 chungen verificieren : Nach den beiden letzten Gleichungen enthält (p 

 nur X — x und y — y. Führt man diese als Veränderliche ein, so 

 wird die erste Gleichung sehr einfach. 



Wir sagen daher : 



Satz 15 : Zwei PnnJcte besitzen hei der Gruppe aller Bcivegimgen 

 der Ebene nur eine Invariante, nämlich ihren gegenseitigen Abstand. 



Ahnlich kann man fragen, welche* Functionen (p der Coordinaten ^''aruier ^'^ 

 dreier Punkte (x, y), {x', y), (x", y") bei allen Bewegungen invariant ^""i'*'^- 

 bleiben. Indem man wieder fordert, dass g? bei der allgemeinen infini- 

 tesimalen Bewegung Uf ungeändert bleibe, gelangt man zu drei Diffe- 

 rentialgleichungen in den sechs Veränderlichen, Man kann aus all- 

 gemeinen Sätzen der Theorie der vollständigen Systeme schliessen, dass 

 sie nur 6 — 3 = 3 von einander unabhängige Lösungen besitzen, indem 

 jede andere Lösung eine Function dieser drei ist. Es sind uns aber 

 drei von einander unabhängige Lösungen bekannt, nämlich die drei 

 Abstände der drei Punkte von einander. 



Wenn wir allgemein n Punkte mit ihren 2n Coordinaten ins 

 Auge fassen, so ergeben sich drei Differentialgleichungen in 2n Ver- 

 änderlichen. Dieselben bilden ein vollständiges System mit 2w — 3 

 von einander unabhängigen Lösungen. Es haben aber n Punkte 



Abstände von einander. Da dieselben Invarianten sind, so 



könnten wir hieraus folgern, dass von diesen Abständen alle 



durch nur 2w — 3 derselben ausdrückbar sind. Dies aber ist ein Satz, 

 der geometrisch leicht zu beweisen ist, denn kennt man die 2(n — 2) 

 Abstände aller Punkte von zwei bestimmten, und den Abstand dieser 



