Die Gruppe der Bewegungen. 109 



werden. Bezeichnen wir ^ 7 abkürzend mit 0' so lautet also das 

 Symbol der erweiterten infinitesimalen Bewegung Uf: 

 k{xq — yp) + in^ + rg -f A(l + y'^)q. 

 Eine Differentialgleichung DiffT^*"o' 



^(ß^, y, y) = 



bleibt bei allen infinitesimalen Bewegungen invariant, wenn bei den- 

 selben q) stets einen Zuwachs erhält, der vermöge cp{x, ?/, y') = 

 verschwindet. Wir dürfen annehmen, diese Differentialgleichung go = 



liege in aufgelöster Form y'- co(x, y) = vor, sodass -75-^, -—- , ~ 



alle drei frei von y' sind. Wir verlangen nun, dass für alle Werte 

 von A, fi, V : 



\ cy ^ 0x1 ' ^ üic ' cy ^ ^ ^ -^ ■' dy 

 verschwinde vermöge qo = 0. Es müssen also einzeln 



_aqp d^ X ^ — V -^ -^ (i -\- in ^ 



dx ' dy ' ' dy " ex '^ ^ '^ '^ ^ cy 



verschwinden, wenn darin für y' der aus cp = folgende Wert ein- 

 gesetzt wird. Die beiden ersten Ausdrücke enthalten aber y gar 

 nicht. Es muss also überhaupt 



dx ' oy 



sein, d. h. tp enthält nur y . Der dritte Ausdruck reduciert sich, da 



0—7 ^ 1 angenommen werden durfte, einfach auf 1 -\- y'-. Er soll 



verschwinden, d. h. y ist gleich + i. Demnach ergeben sich als die 

 beiden einzigen bei allen infinitesimalen Bewegungen invarianten Diffe- 

 rentialgleichungen erster Ordnung diese beiden : 



y = i, y'= — i. 



Sie bleiben aber auch bei jeder endliche]i Bewegung: 



x^ = X cos a — y sin a -\- a, y^ = x B\n a -\- y cos a -^ h 



invariant, denn hier ist der neue Differentialquotient (vgl. § 3 des 

 2. Kap.) : 



, dy^ dx • sin cc -[- dy ■ cos a sin a -j" J/'cos a 



^^ dx^ dx ■ cos a — dy • sin a cos a — y %m u' 



Ist aber y = -\zh ^o wird hiernach auch y^ = + i. 

 Die erhaltenen Gleichungen 



y = + i' 



