110 Kapitel 4, § 3. 



sind die Differentialgleichungen zweier Parallelenschareu, die freilich 

 imaginär sind: 



X -\- iy = Const., x — iy == Const. 

 Jede besitzt einen unendlich fernen Punkt. Unser Ergebnis ist also 

 dies: Bei allen Bewegungen bleiben zwei unendlich ferne imaginäre 

 Punkte in Ruhe. Dies sind eben jene Punkte, in denen alle Kreise 

 irnnto. ^^^ Ebene die unendlich ferne Gerade treffen, die sogenannten Kreis- 

 punUe, von denen schon gelegentlich die Rede war. Dass kein Punkt 

 im Endlichen bei allen Bewegungen in Ruhe bleibt, ist leicht eiuzu- 

 sehen. 



Man kann umgekehrt alle projectiven Transformationen aufsuchen, 

 welche die Kreispunkte in Ruhe lassen. Offenbar muss eine solche die 

 unendlich ferne Gerade invariant lassen, also zunächst die Form haben; 



^1 = «1« + hy + Ci, y^ = a,x + b.^y + c.^. 



Sie soll X + iy = Const. wieder in a?^ + iy^^ == Const. überführen. 

 Daraus folgt, dass sie die Form hat: 



x^ = q{x cosa — y sin a + a), y^ = q(x ^\n a — y cos a-\-h). 

 Ist insbesondere q = 1, so ist sie eine Bewegung. Bei beliebigem 

 Werte der Constanten q dagegen stellt sie eine sogenannte Ähnlich- 

 keitstrausformation dar, die alle Figuren in ähnliche verwandelt. 



Wir heben noch hervor, dass die Gruppe der Bewegungen auch 

 als die Gruppe aller Transformationen des Cartesischen Coordinaten- 

 systems bezeichnet werden kann, bei denen keine Umklappung des 

 Axenkreuzes eintritt. 



Bei der allgemeinen infinitesimalen Bewegung 



Uf ^X{xq — yp) + iip -{- vq 



erfährt auch der zweite Differentialquotient y" einen Zuwachs. Es kommt: 



d?/'= 6^ = däy'dx — dy'dö x ^^ dSy „ dSx 



dx dx^ "" dx ^^ "dF' 



also, da 



6y = X{l-^y'-')8t^ Sx = {— ly + i,)8t 

 ist: 



d/'= ^XyYdt, 

 sodass eine Function f{x, ?/, /, /') den durch öt dividierten Zuwachs 

 k{xq — yp) -f ^^ -f- v2 -j- ^(1 -f q^)q-\- 2>ly'y"q 



Zweite c..-t , ir cf . _, 



Erweiterung^rianrt, wenu q r= -^r-^ ist. Wir sind so zum Begriff der zweimal er- 



einer inf. ^ (^ y 



Bewegung, wciterten infinitesimalen Transformation Uf geführt. 1 



nX'i^s^^o. ^^^6 Differentialgleichung zweiter Ordnung 1 



