Die Gruppe der Bewegungen. 111 



bleibt demnach bei jeder infinitesimalen Bewegung invariant, wenn für alle 

 Werte von A, jii, v 



dy" 



vermöge cp = verschwindet, also auch insbesondere 



1^ = -^-^ = 

 dx ^ dy ' 



ist, sobald darin für y" der aus q) = folgende Wert gesetzt wird. Indem 

 wir qo = in der aufgelösten Form 



y"— co{x, y, rj') = 



voraussetzen dürfen, finden wir, dass die beiden ersten Forderungen über- 

 haupt y" nicht enthalten und mithin an sich erfüllt sein müssen. Sie 

 sagen aus, dass q) frei von x und y ist. Die letzte reduciert sich danach 

 wegen g) ^ y" — co(j/') auf: 



Sie giebt integriert 



0) = (l + y'^^f^ • Const. 



Die allgemeinste bei jeder infinitesimalen Bewegung iuvariante Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung lautet demnach, nach der Constanten aufgelöst: 



V == Const. 



(1 + t/'-O^ 



Ihre geometrische Deutung lehrt, dass jede dieser oo^ Differentialgleichungen 

 auch bei jeder endlichen Bewegung invariant ist. Denn die linke Seite ist 

 das bekannte Krümmung smass und die Integralcurven sind also alle Curven Krüm- 



^ muugamass. 



von constantem Krümmungsmass a, d. h. alle oo^ Kreise mit dem Kadius — • 

 Natürlich führt jede endliche Bewegung jeden solchen Kreis in einen eben- 

 solchen über. Die Grösse =^ ^ ist somit bei jeder Bewegung invariant. 



Wir nennen sie daher eine Differentialinvariante und zwar eine von zweiter Differentiai- 



„ - invariante. 



Ordnung. 



Satz 16: Die Gruppe der Bewegungen der Ebene hesitst als einsige 

 Differentialinvariante zweiter Ordnung das Krümmungsmass 



y" 



(1 + y'i^ 



Wir stellen es dem Leser anheim, in ähnlicher Weise die invarianten pj^*"*°*Q 

 Differentialgleichungen dritter Ordnung aufzusuchen. Man hat zu dem 

 Zweck auch öy" zu berechnen. Dann findet man durch allerdings nicht 

 ebenso einfache Rechnung wie bisher, dass jede invariante Differential- 

 gleichung dritter Ordnung die Form hat : 



