112 Kapitel 4, §§ 3, 4. 



Hier bedeutet — als reciproker Wert des Krümmungsradius r das invari- 



ante Krtimmungsmass, äs das Bogenelement ]/l + y"^dx. Geometrisch ge- 

 deutet stellt diese Gleichung oo^ Curven dar, längs deren die Bogenlänge s 

 ein und dieselbe Function des Krümmungsradius allein ist. Offenbar wird jede 

 solche Curve auch durch jede endliche Bewegung wieder in eine derartige 

 Curve verwandelt. 



§ 4. Einige Bemerkungen über Untergruppen der allgemeinen 

 projectiven Gruppe. 



Die allgemeine achtgliedrige projeetive Gruppe der Ebene besitzt 

 ausser den in den vorhergehenden Paragraphen besprochenen Gruppen 

 noch eine sehr grosse Anzahl von Untergruppen, wie wir schon be- 

 merkten. Ein allgemeines Princip, vermöge dessen man viele derselben 

 finden kann, kann schon aus dem Bisherigen abgeleitet werden: 

 d^r^"etraX ^^^ allgemeine lineare Gruppe kann definiert werden als der 

 ^''^^'^^y'^l^"''" Inbegriff aller projectiven Transformationen, welche die unendlich 

 ferne Gerade in sich überführen, d. h. als der Inbegriff aller Trans- 

 formationen überhaupt, welche die Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung (vgl. Satz 12 in § 3 des 2. Kap.) 



2/"=0 



invariant lassen und überdies jede Differentialgleichung erster Ordnung 

 von der Form 



y '= Const., 



■ die ja eine Parallelenschar vorstellt, wieder in eine solche (nur mit 

 anderem Werte der Constanten) verwandeln. Oder auch : Sie kann 

 definiert werden als der Inbegriff aller Transformationen, welche die 

 Differentialgleichung aller Parabeln 



5/'2- — ?,y'y^ = 



invariant lassen, wie wir oben in einer Anmerkung ausführten. (Vgl. 

 Satz 3 in § 1 dieses Kapitels.) 



Die specielle lineare Gruppe ferner kann definiert werden als der 

 Inbegriff aller projectiven Transformationen, welche die Flächeninhalte 

 in gleich grosse überführen (nach Satz 10 des § 2). 



Die Gruppe der Bewegungen endlich besteht aus allen projectiven] 

 Transformationen, welche die Entfernung zweier beliebiger Punkte,] 

 also eine gewisse Function, ungeändert lassen. 



In allen drei Fällen also sind die Gruppen definiert dadurch, dass 

 sie gewisse Gebilde in sich überführen. 



