Einige Bemerkungen über Untergruppen der allgemeinen proj. Gruppe. 118 



Betrachten wir entsprechend alle projectiven Transformationen 

 Sa, Sb • ■ ■ , die irgend ein gewisses Gebilde F invariant lassen. 

 Unter F mag ein Punkt oder eine Gerade oder überhaupt eine Figur 

 oder auch eine oder mehrere Differentialgleichungen oder endlich auch 

 eine Function der Coordinaten mehrerer gleichzeitig transformierter 

 Punkte verstanden werden. Alsdann ist in symbolischer Bezeichnung : 



iF)Sa = iF), (F)Sb^iF)r--. 



Daher ist auch 



{F)SaS, = {F), 



in Worten : Die Aufeinanderfolge zweier Transformationen dieser 



Schar lässt ebenfalls F in Ruhe und gehört mithin der Schar an. 



Die Schar hat also die Gruppeneigenschaft. Ist S^ die zu Sa inverse 



projective Transformation, so folgt aus 



(F)Sa = (F) 

 unmittelbar 



{F) = {F)S7' 



d. h. auch S^ gehört zur betrachteten Schar. Die Gruppe enthält 

 folglich zu jeder ihrer Transformationen auch die inverse. So werden 

 wir zu dem wichtigen Principe geführt: 



Theorem 11: Die Schar aller projectiven Transformationen ^^"^ ?ii- 



-*• '' ' gemeines 



der Ebene, ivelche ein gewisses Gebilde in Buhe lassen, besit^t^VJ^!^}'^ '="'' 



' "^ j - Bildung 



die Gruppeneiqenschaft. Die Transformationen der Schar^°^'^'^*^''- 



■^ -^ ^ • I gruppen. 



ordnen sich paarweis als invers zusammen. 



Z. B. wollen wir alle projectiven Transformationen aufstellen, Beispiele 



■"• " ' hierzu. 



welche den Anfangspunkt in Ruhe lassen. Offenbar haben sie die 

 Form : 



1 a^x + b^y + Ca ' ^^ a.,x + b^y + c^ ' 



Die Zähler sind homogene lineare Functionen von x und y. Alle diese 

 Transformationen bilden eine Gruppe. Wenn man zwei derselben nach 

 einander ausführt, etwa die vorstehende und diese: 



öfi^J, 4- ßi2/i ., <^2Xi + ß^yi 



^2 «, ^ _1_ fl „ _L „ J ^2 



so findet man in der That, dass sich a^g und y^ auch als linear ge- 

 brochene Functionen von x und y mit homogenen Zählern darstellen. 

 Diese Gruppe enthält sieben Parameter, auf deren Verhältnisse es 

 aber nur ankommt, sodass nur sechs und — wovon man sich leicht über- 

 zeugt — auch gerade sechs wesentlich sind. Die Gruppe ist also eine 

 sechsgliedrige Untergruppe der allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene. 



Iiie, Continuierlicbe Gruppen. 8 



