114 Kapitel 4, § 4, Kapitel 5, § 1. 



In schon öfters durchgeführter Weise könnten wir ihre infinitesimalen 

 Transformationen bestimmen. Aus der allgemeinen infinitesimalen pro- 

 jectiven Transformation : 

 Uf = (a -{- ex -\- dy -\- Jix^ + ^^^yjP -h (b -{- ex -{- gy -{- hxy -f /'7/OQ' 



sind sie jedoch schneller abzuleiten. Diese nämlich lässt den Anfangs- 

 punkt in Ruhe, wenn die Incremente von x und y für x = y == ver- 

 schwinden, d. h. wenn a = b = ist. Die verbleibende infinitesimale 

 Transformation ist daher linear ableitbar aus den sechs von einander 

 unabhängigen : 



xp, yp, xq, yq, x^p + xyq, xyp + y^q. 



Man bemerke, dass die Klammerausdrücke zwischen diesen sich auch 

 linear mit constanten Coefficienten aus ihnen zusammensetzen lassen. 

 Ferner bilden alle projectiven Transformationen, welche zwei 

 Punkte, etwa die unendlich fernen Punkte der Axen, in Ruhe lassen, 

 eine Gruppe. Dieselbe muss die Geradenschar x = Const. ebenso wie 

 die Schar y = Const. jede in sich überführen, d. h. sie hat die Form : 

 Xy = a^x + Ci, y^ = h.^y + c^ 



und ist demnach viergliedrig. Ihre allgemeine infinitesimale Transfor- 

 mation ist linear aus den vier von einander unabhängigen 



p, q, xp, yq 



ableitbar. Man bemerke, dass auch hier alle Klammerausdrücke linear 

 mit constanten Coefficienten durch p, q, xp, yq ausdrückbar sind. 



Alle projectiven Transformationen, welche drei Punkte, etwa den 

 Anfangspunkt und die unendlich fernen Punkte der Axen in Ruhe 

 lassen, bilden die zweigliedrige Untergruppe: 



a?i = ax, y^ = hy 

 mit den infinitesimalen Transformationen 



xp, yq. 

 Hier ist {xp, yq) ^0. 



Ebenso bilden alle projectiven Transformationen, welche zwei 

 Geraden, z. B. die beiden Axen, invariant lassen, eine leicht aufzu- 

 stellende viergliedrige Gruppe, deren allgemeine infinitesimale Trans- 

 formation sich linear aus 



xp, yq, x^p -f- xyq, xyp -{-y^q 



zusammengesetzt. Auch hier gilt die die Klammerausdrücke betreffende 

 Bemerkung wie in allen bisherigen Beispielen. 



Alle projectiven Transformationen, die einen Kegelschnitt, z. B. die 

 Parabel 



