Einige Bemerkungen über Untergruppen der allgemeinen proj. Gruppe. 115 



y — ia:- = 



in sich überführen, bilden eme' dreigliedrige Gruppe, deren allgemeinste 

 infinitesimale Transformation sich nach § 4 des 3. Kap. linear aus 



P + «?, xp -f 2yq, (^2 — y)p + xyq 



ableiten lassen. Man mache auch hier die Probe mit den Klammer- 

 ausdrücken. 



Man könnte so viele Untergruppen der allgemeinen projectiven 

 Gruppe aufstellen. Eine vollständige Bestimmung aller Untergruppen 

 derselben werden wir in der zweiten Abteilung durchführen. 



Kapitel 5, 



Die allgemeine projective Gruppe der geraden Linie und die lineare 

 homogene Gruppe der Ebene. 



Schon in § 2 des 1. Kap. haben wir von den projectiven Trans- 

 formationen der Geraden in sich gesprochen. Jetzt kommen wir darauf 

 zurück: Wir werden in diesem wichtigen Kapitel alle projectivefi 

 Gruppen der Geraden mit paarweis inversen Tramformationen aufstellen 

 und genau untersuchen. 



Das gegenwärtige Kapitel unterscheidet sich also von dem vor- 

 hergehenden wesentlich dadurch, dass es nicht wie jenes nur Übuugs- 

 stoflF darbietet, sondern vielmehr die unentbehrliche Grundlage für 

 manche künftige Betrachtung bildet. 



Zum Schluss betrachten wir die zur Gruppe der Geraden in enger 

 Beziehung stehende lineare homogene Gruppe in zwei Veränderlichen. 



§ 1. Die dreigliedrige projective Gruppe der Geraden und ihre 

 eingliedrigen Untergruppen. 



Nach § 2 des 1. Kap. stellt die Gleichung projective 



Transf. der 

 /■i\ aX -\- h Geraden. 



^ cx -j- d 



eine allgemeine projective Transformation der geraden Linie in sich 

 dar. Hierbei sollen die Punkte der Geraden durch ihre — positiven 

 oder negativen — Abstände x, x^ von einem Nullpunkte auf der 

 Geraden bestimmt sein. Wenn man eine allgemeine projective Trans- 

 formation der Ebene betrachtet, welche die a;-Axe in Ruhe lässt, so 

 sieht man ohne Mühe, dass die Punkte dieser Axe durch eine Trans- 



