116 Kapitel 5, § 1. 



formation von der Form (1) in einander übergeführt werden. Die 

 Gleichung (1) stellt übrigens nur dann eine wirkliche Transformation 

 dar, wenn sie auch umgekehrt nach x auflösbar ist, wenn also x 

 rechts wirklich vorkommt, d. h. wenn die Determiflante 



a h 

 c d 



+ 



ist. Dies setzen wir daher immer voraus. 

 dMseiw ^^^^ projectiven Transformationen der Geraden bilden eine Gruppe, 



denn wenn nach (1) die Transformation 



X = «1 ^1 + ^1 

 2 Ci a^i + dl 



ausgeführt wird, so ergiebt sich als die Transformation, welche der 

 Aufeinanderfolge beider äquivalent ist, durch Elimination des Zwischen- 

 wertes x^ folgende: 



^^ (ai g + fei c)a; -f (a, & + &i <?) 

 2 {e^a -\- rfi c)x + (Cj 6 -|- d^ d) 



Sie hat aber wieder die Form (1), wie zu beweisen war. Auch ist 

 die Auflösung von (1) nach x eine projective Transformation, die zu 



(1) inverse: 



— dx, 4- b 



X = 



cxi — a 



Ferner stimmen zwei Transformationen von der Form (1) nur dann 

 überein, wenn die Verhältnisse der Constanten a, h, c, d bei der einen 

 gleich den entsprechenden Verhältnissen dieser bei der andern sind. 

 Von den vier Parametern a, h, c, d sind also gerade drei wesentlich. 



Theorem 12: Alle projectiven Transformationen der geraden 

 Linie in sich bilden eine continuierliche Gruppe mit paarweis 

 inversen Transformationen. 



Wir bemerken noch wie in § 2 des 1. Kap., dass die Beziehung (1) 

 zwischen x und x^ auch in Form einer bilinearen Relation 



(1') cxx^ -f- dx^ — ax — & = 



geschrieben werden kann. 



T^'nsT^^die Nehmen wir irgend welche drei Punkte (x), ix"), (x") an und 



<i"i Punkte i^intersuchen wir, ob es eine projective Transformation giebt, die sie 

 andere über- in drei beliebig, aber bestimmt gewählte Punkte (iCi'), i^i'), (^i ") 

 der Geraden überführt. Es fragt sich also, ob man a, b, c, d so be- 

 stimmen kann, dass gleichzeitig nach (1') : 



