Die dreigliedrige proj. Gruppe der Geraden und ihre eingliedr. Untergruppen. 117 



12) 



xa -\- h — x'x^c — x^d = 0, 

 x"a -\- h — x"x^'c — x^'d == 0, 

 X a-f-o — X Xi c — a^i d = 



wird. Dividiert man durch c, so erhält man drei lineare Gleichungen 



für 



mit der Determinante 





Diese Gleichungen lassen sich stets befriedigen, es sei denn die Deter- 

 minante Null. Tritt letzteres ein, so nehmen wir in (2) c = an und 

 erhalten drei homogene Gleichungen in a, h, d mit verschwindender 

 Determinante, deren zweireihige Unterdeterminanten nicht sämtlich 

 verschwinden, sobald keine zwei der Coordinaten x', x\ x" und auch 

 keine zwei der Coordinaten rr/, rc/', x-[" einander gleich sind. Die 

 Verhältnisse von a, &, c, d lassen sich also auch dann eindeutig bestimmen. 



Satz 1 :• lEs giebt stets eine und nur eine projective Transformation, 

 die drei getrennte Punlde der Geraden in irgend drei getrennte Punkte auf 

 ihr überführt. 



Dass hier die Determinante ad — bc wirklich verschieden von 

 Null wird, liegt darin, dass die Transformation, wenn ad — bc = 

 wäre, alle Punkte in denselben Punkt überführen würde. 



Setzt man insbesondere x^'= x', x^" = x", x^" = x", so reducieren 

 sich die Gleichungen (2) auf diese : 



x (a— d) -\- b — x'^c = 0, 

 x" {a — d) -{- b — x"'^c = 0, 

 x"(a — d) + b — x"'c=0, 

 deren Determinante 



x l — x'^ 



x 1 — x ^ = (X X ){x — X ){x — x) 



J" 



X 



— X '■ 



nicht verschwindet, solange keine zwei der Punkte (a;'), (a;"), (a;'") zu- 

 sammenfallen. Es folgt also a = d, b = 0, c = 0; (1) reduciert sich 

 mithin auf die identische Transformation x == x. 



Satz 2: Die einzige projective Transformation, die drei getrennte 

 Punkte der Geraden in Ruhe lässt, ist die identische. 



Man kann fragen, ob bei einer Transformation (1) überhaupt invariante 



ö ' ... Punkte. 



Punkte in Ruhe bleiben. Dass es nicht mehr als zwei invariante 



