118 Kapitel 5, § 1. 



Punkte geben kann, ist sicher. Der Punkt (x) bleibt nur dann bei 

 (1) oder (!') in Ruhe, wenn 



cx^ -\- {d — a)x — & = 

 ist. Dies ist für x eine quadratische Gleichung. 



Ist c=|=0, so hat sie zwei endliche Wurzeln x, die aber zusammen- 

 fallen können. Es giebt also dann zwei (reelle oder imaginäre) ge- 

 trennte oder zusammenfallende invariante Punkte. Ist c = und 



a=^d, so haben wir einen invarianten Punkt x = ^ — : ist gleich- 



zeitig a = d, so giebt es, da dann 6 =j= sein muss, weil (1) sonst 

 die Identität wäre, keinen invarianten Punkt. 



Diese Ausdrucksweise ist nicht ganz correct. Es giebt nämlich 

 unter Umständen einen unendlich fernen invarianten Punkt, denn der 

 Bruch (1) wird für aj = oo ebenfalls unendlich gross, sobald c = 

 ist. Dann also wird der unendlich ferne Punkt der Geraden in sich 

 übergeführt, er ist invariant. Wir können dies auch so einsehen : 

 Benutzen wir den reciproken Wert der Abscissen x, x^ als Coordi- 

 naten |, |i, führen wir also die projective Transformation aus: 



so kommt statt (1): 





5i ~ a + H 



Ist c =1= 0, so folgt für I = ein von Null verschiedenes ^^ . Dagegen 

 wenn c = ist, so wird mit ^ = auch 1^ = 0. Dabei ist § == 

 Doppelwurzel der Gleichung 



sobald a = d ist. | = und 1^ = stellen aber den unendlich fernen 

 Punkt a; = oo oder x^ = <x> der Geraden dar. Im Falle c = und 

 a = d hat man ihn also als einen doppelten invarianten Punkt auf- 

 zufassen. 



Satz 3: Eine projective Transformation der Geraden lässt, sobald 

 sie nicht nur die Identität ist, gerade zwei Punkte invariant, die unter 

 Umständen zusammenfallen können. 



Inf. project. Die Gruppe aller Transformationen (1) besitzt, wie wir wissen, 



Trauaf. der '^ ^ i . i • i n i 



Geraden, die tdcntische Transformation, die sich ergiebt, wenn in (1) a = d und 

 h == c = gesetzt wird. Wählen wir 



a = aQ-\-adt, l) = hdt, c == cdt, d = aQ-\-tdt, («o H= 0); 

 so erhalten wir also die allgemeine infinitesimale Transformation der 

 Gruppe : 



