Die dreigliedrige proj. Gruppe der Geraden und ihre eingliedr. Untergruppen. 1 1 9 



_ (a, + a8t)x+b8t 

 ^^^ "^1 ~ c3tx-{-a^ -ftdt ' 



üq = 1 gesetzt ' 



Offenbar kaun ohne Schaden üq == 1 gesetzt werden. Da ferner 



tdtx +1+ bst 

 ist, so folgt: 



x^ = (x + (ax + h)dt)(l — {ex + h)dt -\ ) 



= X -\- (ax + ^ — c^^ — ^x)8t + • • • , 



sodass X den Zuwachs erhält: 



ö^ = (\)-^ (^a — h)x — cx')dt-{ . 



Das Glied erster Ordnung verschwindet hier nur dann, wenn a = b, 

 b = C = ist. Dann aber reduciert sich die infinitesimale Transfor- 

 mation (3) auf die Identität. Also kann in einer wirklichen infini- 

 tesimalen Transformation das unendlich kleine Glied erster Ordnung 

 nicht Null sein; es ist daher stets gestattet, die unendlich kleinen 

 Glieder höherer Ordnung diesem gegenüber zu vernachlässigen. Wir 



setzen also : 



dx = (h -{-{a — h)x — cx-)dt 



oder, bei anderer Bezeichnung der Constanten : 

 Sx = {a-^ ßx-\- yx')8t. 

 Das Symbol dieser infinitesimalen Transformation ist 



Uf'£:E {a -\- ßx -{- yx^)p. 

 Also folgt : 



Satz 4: Die allgemeine infinitesimale projective Transformation der 

 Geraden ist linear ableithar ans den dreien: 



11, xp, x^p. 

 Demnach giebt es, da es nur auf die Verhältnisse der Con- 

 stanten a, ß, y ankommt, gerade oo^ infinitesimale projective Trans- 

 formationen der Geraden. 



Die Aufsuchung der invarianten Punkte bei vorgelegter infini- 

 tesimaler projectiver Transformation 



lTf=(a-\-ßx + yx')p 

 wollen wir hier besonders erwähnen: Die Function a -\- ßx -\- yx^ 

 ist quadratisch, wenn y =^ ist, und zerfällt dann in zwei lineare 

 Factoren. Sind diese verschieden, so hat Uf die Form 



y(x — m)(x — n)p (ni =|= **)• 

 Offenbar lässt dann Uf die Punkte x = m und x = n in Kühe. Sind 

 die Factoren gleich, so hat Uf die Form 



