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120 Kapitel 5, § 1. 



y{x — nifp 

 und lässt im Endlichen sicher nur den Punkt a; = m in Ruhe. Um auch 

 das Unendlichferne zu untersuchen, führen wir S = — als Variabele 



X 



ein und erhalten als Symbol: 



— y(l — i,mf g^ 



Für 1 = oder x -= oo ist dies nicht Null, also ist der unendlich 

 ferne Punkt nicht invariant, x = m ist vielmehr doppelt zählender 

 invarianter Punkt im Endlichen. 



Wenn nun y = ist und ß=^0, so hat üf die Form : 



ß{x — m)p 



und lässt den Punkt x = m invariant. Für | = - kommt das Symbol 



das für | = oder x = oo verschwindet. Daher ist auch der un- 

 endlich ferne Punkt invariant. 



Wenn endlich y = /3 == ist, so bleibt 



ap 



und diese infinitesimale Translation lässt keinen im Endlichen gelegenen 

 Punkt in Ruhe, wohl aber den doppelt zu zählenden unendlich fernen. 



jingi. proj. Jede dieser infinitesimalen proiectiven Transformationen erzeugt 



Grruppe, or- _ _ t. o o 



zeugt von nun, wie wir beweisen werden, eine eingliedrige Gruppe von projec- 

 Transfonn, tivcu Transformationen. Wir werden die verschiedenen Möglichkeiten 



einzeln behandeln. 

 irster Fall. Es scicu zunöchst jene beiden Factoren von einander verschieden, 



also — da es auf einen Zahlenfactor nicht ankommt: 

 Vf'^ix — m){x — n)p, 



wo m=^n ist. Uf lässt die Punkte x = m und x *= n und sonst 

 keinen Punkt in Ruhe. Es ist sehr leicht, alle endlichen projectiven 

 Transformationen aufzustellen, welche eben diese beiden Punkte in 

 Ruhe lassen. Ist nämlich 



ax 4- b 



Xi = ' — 



^ cx -{■ d 



eine solche und- eliminiert man x aus dem Bruche 



X — n ' 

 indem man x-^^ einführt, so erhält man eine lineare gebrochene Function 

 von Xy^. Setzt man x = m, so ist der Bruch Null. Da für x = m 



l 



