Die dreigliedrige proj. Gruppe der Geraden und ihre eingliedr. Untergruppen. 121 



auch x^ == m sein soll , so muss also der neue Bruch ebenfalls für 

 x^ = m verschwinden, d. h. sein Zähler muss ein Vielfaches von x^ — m 

 sein. Entsprechend ist sein Nenner ein Vielfaches von x^ — n. Wir 

 sehen also, dass bei jeder projectiven Transformation, welche die ge- 

 trennten Punkte (m) und (w) invariant lässt, eine Gleichung besteht 



von der Form: 



^ . V Xi — m X — m 



^ ^ x^ — n ^ X — w' 



aus der sich also die Transformation in der gewöhnlichen Form durch 

 Auflösen nach x^ ergiebt. 



Hierin tritt nur eine willkürliche Constante q auf. Es ergeben 

 sich also gerade oo^ Transformationen der gesuchten Art. Dieselben 

 bilden für sich eine Gruppe, denn die Aufeinanderfolge zweier dieser 

 Transformationen lässt auch die Punkte (m) und (w) in Ruhe und 

 gehört daher ebenfalls zu diesen oo^ Transformationen. Auch enthält 

 diese Gruppe zu jeder ihrer Transformationen die inverse, die man 



dadurch findet, dass man statt p den Wert — setzt. Wir haben somit 



die allgemeinste projeetive Gruppe construiert, welche zwei getrennte 

 Punkte (m) und (n) in Ruhe lässt. 



Es lässt sich umgekehrt leicht bestätigen, dass unsere eingliedrige 

 Gruppe von der infinitesimalen Transformation 



Uf '^ (x — m) (x — n)p 



erzeugt wird. Die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe Uf 

 findet man ja durch Integration der Differentialgleichung 



(5) , ^? . = dt 



unter der Bedingung, dass sich x^ für ^ = auf x reduciere. Die 

 Differentialgleichung (5) aber lässt sich so schreiben: 



dx^ dxi 



Xi — m iCj - 

 und besitzt daher die Integralgleichung: 



= (m — n)dt 



log -^-^ — = {m — 'n)t -\- Const. 



X, — n 



oder, da die linke Seite sich für ^ = auf log reducieren soll : 



' ° X— n 



d. h. 



