Die dreigliedrige proj. Gruppe der Geraden und ihre eingliedr. Untergruppen. 123 



wird vermöge einer solchen Transformation in eine linear gebrochene 



Function von x. verwandelt. Da für x = m unendlich gross 



wird, und da dem Wert x == m der Wert x^ = m zugehört, muss der 

 Nenner des neuen Bruches ein Vielfaches von x^ — m sein. Sei also : 



1 axi + Q 



X — m a?! — m 



Diese Gleichung, welche die obige Gleichung der Transformation ersetzt, 

 soll nun für x = x^ die Doppelwurzel m haben. Dies aber tritt dann 



und nur dann ein, wenn 



1 = 6m -f- Q, 

 d. h. 



ist, sodass kommt: 



m 



(1 — q)x^ + qm 



X — m m (a?! — wt) 



oder, wenn mit p bezeichnet wird : 



(7) -^ = -- +p. 



^^ x^ — m X — m'^ 



In dieser Form sind also alle endlichen projectiven Transformationen 

 enthalten, die nur den einen Punkt x = m invariant lassen. 



Alle diese oo^ projectiven Transformationen bilden eine Gruppe, 

 denn zwei solche Transformationen lassen nach einander ausgeführt 

 ebenfalls nur den Punkt (m) in Ruhe. Die zur obigen inverse Trans- 

 formation ergiebt sich, wenn q durch — q ersetzt wird. Soll nun, 

 was wir zu beweisen wünschen, diese Gruppe die von 



Uf^^{x — mYp 



erzeugte sein, so ist dazu notwendig und hinreichend, dass q diejenige 

 Function von t ist, für welche die Gleichung (7) die Integralgleichung' 

 von (6) wird. Aus (7) aber folgt durch Differentiation nach t: 



dx, , 



{Xi — my 

 also wegen (6) : 



dQ = — dt, 



Q = — t -\- Const. 

 oder, da sich (7) für t = auf die Identität reducieren soll : 



Wir kommen also in der That zu der schon vorher abgeleiteten end- 

 lichen Gleichung : ' 



-J— = ' -t. 



X, — m X — in 



