124 Kapitel 5, §§ 1, 2. ' 



)iuterFaii. Sei drittms der in XJf auftretende Ausdruck nicht quadratisch, 

 sondern nur linear, also : 



TJf^ix — m)p . 



Hier liefert die Integation der Differentialgleichung 



(8) -^^ = dt 



Xi — m 



sofort : 



ajj — m = e' • Const. 



oder, da iCi = a; für ^ = sein soll : 



x^ — m = e'(x — m) 

 oder auch 



Xj^ = (x — m)e' -f- m. 



Dies sind wieder projective Transformationen. Um auch den anderen 

 Weg einzuschlagen, fragen wir nach allen endlichen projeetiven Trans- 

 formationen, welche wie Uf den Punkt (m) und den unendlich fernen 

 Punkt in Ruhe lassen. Eine solche, die den unendlich fernen Punkt 

 in Ruhe lässt, hat nach dem Früheren allgemein die Form: 



Xj^ = QX •}- 0. 



Für x = m soll x^ = m werden. Es ist daher ö = (1 — p)m und es 

 kommt : 



(9) aji — in = q(x — m). 



Diese Gleichung stellt oo^ endliche paarweis inverse projective Trans- 

 formationen dar, die eine Gruppe bilden. Um zu beweisen, dass diese 

 Gruppe von C/"/"^ {x — m)p erzeugt wird, ist nur noch zu zeigen, dass 

 sich Q so als Function von t wählen lässt, dass (9) die Integral- 

 gleichung von (8) wird. Dies aber leistet die Annahme q = e\ wo- 

 durch wir zu der vorher gefundenen endlichen Gleichung gelangen. 



ierterFaii. Viertms cndHch sei 



Uf = p. 



Hier erhalten wir die eingliedrige projective Gruppe 



x^= X -{• t 

 aller Translationen. 



Wir bemerken nun noch, dass jede endliche projective Transfor- 

 mation, wie in Satz 3 gesagt wurde, zwei Punkte invariant lässt. Sie 

 gehört daher sicher irgend einer und nur einer unserer eingliedrigen 

 Gruppen an. 



Demnach können wir das Theorem aussprechen: 

 ergebnis". Theoreiü 13 i Bie von einer infinitesimalen projeetiven Trans- 



formation der Geraden erzeugte eingliedrige Gruppe besteht aus 

 lauter projeetiven Transformationen. Die Gruppe aller pro- 



