Die zweigliedrigen Untergruppen der allgemeinen proj. Gruppe der Geraden. 125 



jectiven Transformationen der Geraden verfällt demnach in 

 oo^ eingliedrige Untergruppen mit paarweis inversen Trans- 

 formationen. Jede endliche projective Transformation der Ge- 

 raden gehört einer und nur einer derselben an. 



Insbesondere hat sich ergeben: 



Satz 5 : Jede eingliedrige projective Gruppe der Geraden mit paar- 

 weis inversen Transformationen besteht aus allen projectiven Transfor- 

 mationen, welche gerade zwei gewisse Tunkte invariant lassen y die auch 

 zusammenfallen können. 



Dadurch, dass wir auf die infinitesimale Transformation Uf eine 

 passende projective Transformation ausüben, können wir immer er- 

 reichen, dass der eine bei Uf invariante Punkt ins Unendlichferne 

 rückt. Der Punkt x == m z. B. wird durch 



X = —, 



X — m 



ins Unendlichferne transformiert. Lässt Uf zwei getrennte Punkte in 

 Ruhe, deren einer dann also unendlich fern liegt, so hat Uf die Form 

 {x — n)p und kann durch die projective Transformation x == x — n 

 auf die Form xp gebracht werden. Lässt Uf den doppelt zählenden 

 unendlich fernen Punkt invariant, so hat sie die Form p. 



Bezeichnen wir nun noch diejenigen Untergruppen der dreiglied- 

 rigen projectiven Gruppe der Geraden als mit einander innerhalb dieser ^^^^^^^^' 

 Gruppe gleichberechtigt, welche durch Ausführung irgend einer projec- unter- 

 tiven Transformation der Geraden in einander übergeführt werden 

 können, so können wir also sagen : 



Theorem 14: Jede eingliedrige Untergruppe der allgemeinen ^^^^^^^^f^f 

 projectiven Gruppe der Geraden mit paarweis inversen Trans- unter- 

 formationen ist innerhalb dieser Gruppe gleichberechtigt mit 

 einer der beiden Untergruppen: 



Dass diese beiden nicht in einander überführbar sind, liegt auf 

 der Hand. 



§ 2. Die zweigliedrigen Untergruppen der allgemeinen projectiven 



Gruppe der Geraden. 



Wir fragen nunmehr nach allen zweigliedrigen Untergruppen der zweigUedi 

 • • r\ T n 1 • Unter- 



allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden mit paarweis inversen gruppen. 



Transformationen, also nach allen continuierlichen Scharen von <x>'^ 



projectiven Transformationen der Geraden, welche die Gruppeneigen- 



