126 Kapitel 5, § 2. 



Schaft haben und zu jeder ihrer Transformationen auch die inverse 

 enthalten. 



Wir stellen zu ihrer Bestimmung diese Betrachtung an : Irgend 

 ein bestimmt gewählter, aber sonst beliebiger Punkt p der Geraden 

 wird von den gesuchten oc^ Transformationen in die verschiedenen 

 Punkte der Geraden übergeführt. Weil aber diese nur oo^ Punkte 

 enthält, so folgt, dass es sicher in der gesuchten Untergruppe cx>^ pro- 

 jective Transformationen giebt, die jenen Punkt p in einen bestimmten 

 anderen Punkt überführen, also auch sicher c»^ Transformationen, 

 welche den Punkt p in sich verwandeln, ihn in Ruhe lassen. Diese 

 oo^ Transformationen bilden natürlich für sich eine Gruppe, denn wenn 1 



(P)S=(P), (p)T=(p) 

 ist, so ist auch 



(p)ST=ip)T={p). 

 Da ferner mit • 3 



ip)S-{p) \ 



auch 



(p) = (p)S-^ 



ist, so folgt, dass diese von c»^ projectiven Transformationen gebildete 

 Untergruppe zu jeder ihrer Transformationen die inverse enthält. Die 

 gesuchte zweigliedrige Gruppe enthält also oo^ eingliedrige Unter- 

 gruppen mit paarweis inversen Transformationen. 



Jede dieser eingliedrigen Untergruppen wird von einer infinitesi- 

 malen projectiven Transformation erzeugt*). Mithin enthält die ge- j 

 suchte zweigliedrige Gruppe auch oc^ infinitesimale Transformationen. | 



Wenn Uf und Vf zwei derselben sind, von denen wir natürlich j 

 voraussetzen, dass sie sich nicht nur um einen constanten Factor | 

 unterscheiden, so können wir einsehen, dass auch auf -\- bVf eine | 

 infinitesimale Transformation derselben ist, wie auch die Constanten a, b \ 

 gewählt sein mögen. Denn die von | 



rf=^p 

 erzeugten endlichen Transformationen haben die Form 



die von 



rf=lp 



*) Dieser Schluss ist nicht einwandfrei Es ist ja keineswegs aasgeschlossen, 

 dass die eingliedrige Untergruppe aas mehreren continuierlichen Scharen TOn 

 Transformationen besteht, also keine continuierliche Groppe ist. Wir halten es 

 aber für angebracht, hier über dies Bedenken schnell hinwegzugehen. Der Haupt- 

 satz im Kap. 9 des zweiten Abschnittes wird eine lückenlose und kurze Bestimmung 

 aller im Texte gesuchten Gruppen liefern. (Siehe Schluss dea § 4 des 9. Kap.) 



