Die zweigliedrigen Untergruppen der allgemeinen prqj. Gruppe der Geraden. 127 

 erzeugten die Form 



Hier sind die Reihenentwickelimgen als Potenzreihen nach t zu denken, 

 die für hinreichend kleine Werte von t convergieren. Alle diese Trans- 

 formationen gehören der zweigliedrigen Gruppe an, insbesondere also 

 auch diejenigen, die wir erhalten, wenn wir t durch a oder b ersetzen, 

 dabei unter a und h hinreichend kleine Zahlen verstehend. Führen 

 wir die beiden Transformationen 



Xi = 2- -f- ^(x)a -\ 



und 



x^ = x,-{- l(x^)b -{ 



nach einander aus, so müssen wir also wieder eine Transformation 



der zweigliedrigen Gruppe erhalten. Wir bekommen aber: 



ar^ = a; + |a + ..- + f(a; -f |a + . ■■)& + .. ., 



also, da | bei hinreichend kleinem a nach Potenzen von a entwickel- 

 bar ist : 



x^ = X -{- ^ x)a -j- i[x)b -{-■■-. 

 Hier schreiten die Reihen nach Potenzen von a und b fort, und die 

 Glieder höherer als erster Ordnung in a und b sind nicht mit- 

 geschrieben. Wählen wir a und b infinitesimal, indem wir sie durch 

 adt und bdt ersetzen, so erhalten wir die folgende infinitesimale Trans- 

 formation, die ebenfalls der zweigliedrigen Gruppe angehört: 



x._ = X -{- {al -{- bl)dt -{ , 



deren Symbol lautet 



aUf+bVf. 



Hiermit ist die obige Behauptung bewiesen. 



Sicher lassen die oo^ infinitesimalen Transformationen unserer 



eigliedrigen Gruppe nicht sämtlich je nur einen (doppeltzahlenden) 

 Pnntt invariant Denn wenn Uf den Punkt x = m, Vf den Punkt x = n 



Rohe lässt, so kann gesetzt werden : 



Uf={x-mfp, rf=^x-nfp, 

 sodass kommt : 



aUf-^b rf= [a{x — mf -f b{x - «)*]p. 

 Diese Transformation aber lässt bei geeigneter Wahl von a und b 

 ei verschiedene Punkte in Ruhe. 

 Andererseits giebt es in der zweigliedrigen Gruppe sicher infinitesi- 

 male Transformationen mit nur je einem invarianten Punkte, denn wenn , 



rf^(x — m)(x — n)p, Vf^ (x — r}(x — s)p 

 ist, so ist 



