128 KapiteFö, § 2. 



aUf-\- bVf=[(a-^h)x^ — {a{m + n) + b{r -\- s))x + amn-i-hrs]p 

 und hier lassen sich a und b so wählen, dass der quadratische Aus- 

 druck ein vollständiges Quadrat wird, d.h. aUf-\-hVf nur einen 

 Punkt in Ruhe lässt. 



Mithin folgt: Die gesuchte zweigliedrige Gruppe enthält eine 

 discrete Anzahl von infinitesimalen Transformationen, die nur je 

 einen Punkt in Ruhe lassen, und zwar mindestens eine solche Trans- 

 formation. Führen wir nun auf eine infinitesimale Transformation S 

 unserer gesuchten Gruppe irgend eine Transformation T dieser Gruppe 

 aus, so geht 8 über in die infinitesimale Transformation T~^ST, die 

 ebenfalls der Gruppe angehört. (Siehe Satz 6, § 2 des 3. Kap.) Nach 

 • dem Satz 9 des § 2, 3. Kap., folgt ferner, dass, wenn S nur einen 

 Punkt p in Ruhe lässt, dasselbe von T-^ST gilt, indem diese Trans- 

 formation den Punkt in Ruhe lässt, in den p vermöge T übergeht. 

 Wählen wir nun T auf alle mögliche Weisen aus der gesuchten 

 Gruppe aus, so erhält der neue Punkt, wenn er nicht bei allen diesen 

 Transformationen invariant bleibt, unendlich viele Lagen {p)T. Dem- 

 entsprechend müsste die Gruppe unendlich viele infinitesimale Trans- 

 formationen enthalten, die nur je einen Punkt in Ruhe Hessen. Dies 

 aber ist ausgeschlossen. Mithin ist p invariant. 

 Existenz ^Hg Transformationen der gesuchten zweigliedrigen Gruppe lassen 



iines invar. ° i t-^ i • XJ l, TT' 



Punktes, also eiueu bestimmten Punkt, etwa den Punkt x = m, m Ruhe. Jiis 

 giebt aber auch gerade nur oo^ projective Transformationen der Ge- 

 raden, welche den Punkt x = m m Ruhe lassen, nämlich die oo^ infini- 

 tesimalen 



{x — m){ax -f- h)p 



und die von ihnen erzeugten endlichen. Alle diese bilden eine Gruppe, 

 da die Aufeinanderfolge zweier dieser Transformationen wieder eine 

 projective Transformation ist, die den Punkt x = m in Ruhe lässt. 

 Auch lässt die zu jeder dieser Transformationen inverse eben den 

 Punkt X = m invariant. 



Die gesuchte Gruppe enthält die oo^ infinitesimalen Transforma- 

 tionen, die linear aus 



(x — m)p, x(x — tn)p 

 oder auch aus 



{x — m)p, {x — myp 

 ableitbar sind. 



Wenn der invariante Punkt unendlich fern ist, so modificieren 

 • sich diese etwas. Alsdann lautet die allgemeine infinitesimale Trans- 

 formation der Gruppe: 



{ax -\- h)p 



