Die zweigliedrigen Untergruppen der allgemeinen proj. Gruppe der Geraden. 129 



und ist also linear aus p und xp ableitbar. Auf diese Form lässt sich 

 die Gruppe, die x == m in Ruhe lässt, dadurch bringen, dass man ver- 

 möge der projectiven Transformation 



,^ ^1^ 



X — m 



eine neue Variabele einführt. Unter Benutzung einer im vorigen Para- 

 graphen erklärten Redeweise können wir mithin sagen : 



Satz 6 : Jede in der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden J^J^^^'^^r 

 enthaltene zweigliedrige Untergruppe mit paarweis inversen Transforma- unter- 

 tionen ist innerhalb dieser Gruppe gleichberechtigt mit der Gruppe 



p, xp \. 



! • 



Die Ergebnisse dieses und des vorigen Paragraphen zusammen- 

 fassend, wollen wir noch sagen : 



Theorem 15: Jede in der allgemeinen projectiven Gruppe, ^ypeu 

 der Geraden enthaltene zweigliedrige Untergruppe mit »aar-^'"pi""^''"' 



c7 i X- X' Geraden. 



weis inversen Transformationen lässt sich definieren als der 

 Inbegriff aller projectiven Transformationen, die einen ge- 

 wissen Punht der Geraden in Buhe lassen. Eine eingliedrige 

 Untergruppe mit paarweis inversen Transformationen besteht 

 aus allen projectiven Transformationen der Geraden, die 

 gwei gewisse, eventuell zusammenfallende, Punkte invariant 

 lassen, während keine derselben noch einen anderen Punkt 

 ungeändert lässt Jede projective Gruppe^ der Geraden mit 

 paarweis inversen Transformationen ist vermöge einer geeig- 

 neten projectiven Transformation auf einen der Typen zurück- 

 führbar: 



p, xp, x^p; . 



p, xp; 



p\ xp. 



Wir bemerken noch, dass der Klammerausdruck der infinitesimalen Kia.umor- 

 Transformp,tionen der zweigliedrigen Gruppe 



p, xp 

 einfach liefert: 



{p, xp)=p. 



Wir werden später (zunächst im zweiten Abschnitte für projective 

 I Gruppen, vgl. Kap. 9) darthun, dass die infinitesimalen Transforma- 

 I tionen UJ- • • Urf einer etwa r-gliedrigen Gruppe stets in der eigen- 

 tümlichen Beziehung stehen, dass jedes 



Lie, Continuierliche Gruppen. 9 



