130 Kapitel 5, §§ 2, 3. 



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 ist, wo die Ci^s gewisse Constanten vorstellen. Wenn wir diesen Satz 

 für den Augenblick einmal als schon bewiesen annehmen, so können 

 wir das Problem der Aufsuchung der zweigliedrigen Untergruppen der 

 allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene auch so stellen: Ist 

 UJ = p, ü^f=xp, UJ=x^p, 



so soll man aus ihnen zwei sich nicht nur um einen constanten 

 Factor von einander unterscheidende infinitesimale Transformationen mit 

 Hülfe constanter Factoren a, h zusammenstellen, etwa 



VJ=a^ UJ 4- «2 U2f + «3 UJ, 



V,f=\U,f+h,U,f+h,ü,f, 

 sodass ( Fl F2) sich in der Form ausdrückt : 



in der a, ß Constanten bedeuten. Da offenbar 



ist, so kommt also die Forderung : 



= {aa, + ßh,) UJ+ {aa, + ßb,) U,f + {aa, + ßb,) UJ. 

 Sie zerfällt in drei einzelne zur Bestimmung von a^, a.^, a^, b^, b.^, b^ 

 und a, ß. Man kann zeigen, dass sich diese Forderungen in all- 

 gemeinster Weise dadurch erfüllen lassen, dass man V^f und V^f als 

 lineare Combinationen der beiden infinitesimalen Transformationen 

 (x — m)p und (x — rnfp oder von p und xp wählt, sodass man wieder 

 zu den gefundenen Gruppen geführt wird. 



Dies hier nur skizzierte Verfahren dient dazu, die Untergruppen 

 an der Hand einer allgemeinen Methode ohne Kunstgriffe zu bestimmen, 

 einer Methode, von der wir später ausführlich sprechen werden. 



§ 3. Invarianten der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden 

 und ihrer Untergruppen. 



Wir wollen uns nun die Frage vorlegen, ob es bei der all- 

 mlhrlrer^ gemeinen projectiven Gruppe der Geraden Invarianten mehrerer PunJcte 

 Punkte, giebt, präciser gesagt: Wir greifen mehrere beliebige Punkte (x), 

 (x), {x') • • • heraus, führen sie durch irgend welche projective Trans- 

 formation in neue Lagen (x^), (a;/), (a;/') • • • über und untersuchen, 

 ob es Functionen ^{x, x, x'- ") giebt, die sich bei allen Transfor- 



