Invarianten der allgemeinen proj. Gruppe der Geraden und ihrer Untergruppen. 131 



mationen der dreigliedrigen Gruppe nicht ändern, also stets die Be- 

 dingung erfüllen : 



Sl(xi, x^, xl' ■ ■ •) = Sl{x, X, x"- ■ ■). 

 Zunächst müsste eine derartige Function bei der allgemeinen infini- 

 tesimalen projectiven Transformation der Geraden 



{a -^ ßx -\- yx^)p 

 ungeändert bleiben, also insbesondere auch bei den drei einzelnen 



p, xp, x^p. 



Bei der ersten wächst a; um dt, x entsprechend auch u. s. w., also 

 iß um 



Bei der zweiten nimmt Sl zu um 



[x,, -4- X ^-, 4- • • ')dt 

 \ ox ' dx ^ ) 



und bei der dritten um 



(^i-f+^'^H +••■)«■ 



Wir haben also zu verlangen, dass diese drei Incremente Null werden. 

 Dies liefert drei von einander unabhängige partielle Differentialglei- 

 chungen für .ß, die ein sogenanntes vollständiges System bilden. Nach 

 der allgemeinen Theorie der vollständigen Systeme (vgl. S. 108) haben 

 sie nur dann eine gemeinsame Lösung ü, wenn die Zahl der Ver- 

 änderlichen X, X-' grösser als drei ist. 



Nehmen wir daher zunächst ß als Function der Abscissen x, x, invariante 

 x", x" von vier Punkten an. Dann kommt:. 



aß aß ^ , ^^ __c\ 



dx "T- ^^' -f- -^^- + J^f. — u, 



^ dx^^ dx^^ dx"^^ Tx"^ — ^- 

 Die erste Gleichung sagt aus, dass §1 nur von den Differenzen 



u "^x — x, u" ^ x" — X, u"'^ x" ~ X 

 abhängt, sodass sich die zweite Gleichung auch so schreiben lässt: 



,aß , „ aß , ,„ aß 



du ^ du ' du 

 Sie ist äquivalent dem simultanen System 



du du" du" 



u' u" u" 



und sagt daher aus, dass ü nur von den Quotienten 



von vier 

 Punkten. 



