1 32 Kapitel 5, § 3. 



V ^E 



U X -- X 



U X — X 



w 



X — X^ 1* 



abhängt, sodass noch als letzte Differentialgleichung bleibt: 



dw 



{y-\)v'^^-^{w-\)iv 



= 0. 



Äquivalent ist ihr die gewöhnliche Differentialgleichung 



dv dw 



oder , ■, 7 



dv dv dw dw 



^ _1~1 ?; W — 1 W 



die das Integral hat: 



oder 



oder endlich 



Doppel- j)jgg j^ber ist eines der DoppelverMUnisse der vier Punkte {x), (x), 

 Verhältnis. ^^^^^^ ^^^^^^^ Bekanntlich haben vier Punkte im ganzen sechs Doppel- 

 verhältnisse, deren Werte unter einander zusammenhängen. (Vgl. eine 

 Anmerkung in § 1 des 1. Kap.) Die fünf anderen Doppelverhältnisse 

 sind also von diesem einen abhängig. 



ß ist also notwendig eine Function dieses Doppelverhältnisses. 

 Man kann aber auch zeigen, dass dies Doppelverhältnis z/ bei jeder 

 endlichen projectiven Transformation der Geraden invariant bleibt, wie 

 wir in § 2 des 1. Kap. schon gesehen haben. Demnach sagen wir: 

 Satz 7: Die einige Invariante von vier Punkten der Geraden gegen- 

 über der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden ist ihr Doppelver- 

 hältnis. 



invarianten Fragen wir uach den Invarianten von fünf Punkten, so handelt 



:n"dS>'res sich zunächst um die Integration des dreigliedrigen vollständigen 



Punkten. 



Systems : 



ä^ + ä^ + a^ + 0^'" + ^-^^ 



Systems : ^ ^ - r. 



ä^ + ä^ + a^ + 0^'" + ^-^^ ' 



in fünf Veränderlichen. Dasselbe besitzt 5 - 3 = 2 von einander un- 

 abhängige Lösungen. Offenbar können wir als diese Lösungen die 



