Invarianteu der allgemeinen proj. Gruppe der Geraden und ihrer Untergruppen. 133 



Doppelverhältnisse {xx'x'x") und (xx'x'x^) benutzen, die ja In- 

 varianten und von einander unabhängig sind. Es ergiebt sich also 

 nichts interessantes Neues. Dasselbe gilt von den Invarianten von 

 6, 7 • • Punkten. 



Satz 8 : Die Invarianten von heliehig vielen PunMen der Geraden 



gegenüber der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden sind beliebige 

 Functionen der DoppelverMltnisse dieser Punkte. 



Eine jede zweigliedrige Untergruppe '^dlr'lTJf-' 



{X — m)p, {X — rnfp Unter- 



grupiien. 



der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden dagegen liefert noch be- 

 sondere Invarianten. Hier haben schon drei Punkte {x), (x), (x") eine 

 Invariante, nämlich das Doppelverhältnis, das sie mit dem invarianten 

 Punkt (w) bilden. Verlegt man den invarianten Punkt ins Unendliche, 

 sodass die Gruppe 



p, xp 



kommt, so erhält man die Invariante —n , auf die sich alsdann das 



' X — X ' 



Doppelverhältnis reduciert. Diese zweigliedrige Gruppe lässt demnach 

 das Verhältnis der gegenseitigen Entfernungen von drei Punkten un- 

 geändert. Jede Invariante von vier Punkten ist hier eine Function der 

 beiden Verhältnisse der gegenseitigen Entfernungen derselben u. s. w., 

 was man leicht von vornherein einsieht, aber auch rechnerisch ab- 

 leiten kann. 



Zum Schluss jioch eine Bemerkung: Man kann in der Gleichung^||?^"^^|jj; 



+ T eines 

 ? Strahlen- 



^ CX -f- d büschels. 



die Veränderliche x anstatt als Coordinate eines Punktes der Geraden 

 als Coordinate eines Strahles durch einen festen Punkt deuten. Doch 

 wollen wir zum Unterschied alsdann u statt x schreiben : 



au -\- h 



^ cu -\- d 



Wenn wir unter u die Tangente des Winkels verstehen, die ein Strahl 

 durch einen festen Punkt mit einem Anfangsstrahl durch diesen Punkt 

 bildet, so ordnet die Transformation jedem Strahle (li) durch diesen 

 festen Punkt einen anderen Strahl (%) durch denselben zu, kurz sie 

 giebt eine Transformation der Strahlen eines Büschels. Da nach einer 

 Bemerkung zu Anfang des § 3 des 2. Kap. das Doppelverhältnis von 

 vier Strahlen eines Büschels gleich dem der Tangenten ihrer Winkel 

 mit einem bestimmten Strahl ist, so folgt auch, dass unsere Trans- 



