134 Kapitel 5, §§ 3, 4. 



formation stets vier Strahlen in vier Strahlen mit demselben Doppel- 

 verhältnis überführt. Man kann auch leicht einsehen, dass die obio-e 

 Gleichung die allgemeinste derartige Transformation der Strahlen eines 

 Büschels vorstellt, denn nach § 2 des 1. Kap. ist die obige Gleichung 

 die allgemeinste, welche vier Werten u, u', u", u" vier solche Werte 

 Ml, w/, Mj", u-[" zuordnet, dass 



ist. Alle bisherigen Betrachtungen dieses Kapitels lassen sich also 

 ohne Mühe übertragen auf die allgemeine projective Gruppe der Strahlen 

 eines Strahlenbüschels. 



Diese Übertragung werden wir im nächsten Paragraphen verwerten. 



§ 4. Die lineare homogene Gruppe der' Ebene. 



Als letztes Beispiel einer projectiven Gruppe betrachten wir jetzt 

 die lineare homogene Gruppe der Ebene, deren allgemeine Gleichungen 

 lauten : 

 (10) Xi = ax 4- by, y^ = cx-{- dy. 



Nach § 1 des 4. Kapitels stellen diese Gleichungen, sobald sie auch 

 nach X, y auflösbar sind, sobald also die Determinante ad — 6c, die 

 wir kurz die Determinante der Transformation nennen, von Null ver- 

 schieden ist, alle diejenigen projectiven Transformationen der (a;i/)-Ebene 

 dar, welche die unendlich ferne Gerade und überdies den Anfangs- 

 punkt in Ruhe lassen. Dass ihr Inbegriff eine Gruppe bildet, folgt aus 

 dem Theorem 11, § 4 des 4. Kap., unmittelbar. Zwei solche Trans- 

 formationen sind nur dann identisch, wenn a, b, c, d in der einen die- 

 selben Werte haben wie in der anderen. Die Gruppe enthält folg- 

 weslntiiche^^*^^ ^*'^' wesentliche Parameter und ist viergliedrig. Auch enthält si^ 

 Parameter, augcnscheinlich zu jeder ihrer Transformationen die inverse. 

 „l"e TraS- . ^^^ a = d^l, h = c = ö crgiebt sich die identische Transfor- 

 inationen. matiou, also für unendlich wenig davon abweichende Werte der Para- 

 meter eine infinitesimale. Danach besitzt die Gruppe die oo^ infini- 

 tesimalen Transformationen 



Uf={ux + ßrj)p + {yx + 8y)q, 

 die linear aus xp, yp, xq, yq ableitbar sind. Jede dieser oo^ infini- 

 tesimalen Transformationen erzeugt eine eingliedrige Gruppe mit paar- 

 weis inversen Transformationen, und zwar sind diese Transformationen 

 ebenfalls linear und homogen. Es folgt dies unmittelbar aus den 

 Formeln (2), (3), (4) des § 1 des 4. Kap., in denen cc,, ß„a,, ß, durch 

 a, ß, y, d und «j, \, a^, b^ durch a, b, c, d zu ersetzen sind, während 



