Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 135 



daselbst y^ = y^ = c^ = C2 = angenommen werden muss. Ganz 

 analog den damaligen Folgerungen können wir jetzt den Schluss ziehen: 



Satz 9: Die viergliedrige lineare homogene Gruppe der Ebene ser- ^^^^^^^'^ 

 fällt in 00^ eingliedrige Untergruppen mit paartveis inversen Transfor-^^ einguetir. 

 mationen, deren jede von einer infinitesimalen Transformation der vier- gr«pi'oi- 

 gliedrigen Gruppe erzeugt wird. Diese infinitesimalen Transformationen 

 sind linear ableitbar aus: 



xp, yp, xci, yq. 



Jede endliche Transformation der viergliedrigen Gruppe gehört einer oder 

 einer discreten Anzahl der erivähnten eingliedrigen Untergruppen an. 



Mit einander innerhalb der linearen homogenen Gruppe gleich- ^^^ll'^^^\^ 

 berechtigt nennen wir wieder solche Untergruppen derselben, die' durch uiucr- 



" o i. -L 7 griUipcii. 



lineare homogene Transformation in einander übergeführt werden 

 können. — 



Die in Rede stehende Gruppe hängt eng zusammen mit der all- ^"»immen 



^^ ~ ° hang mit 



gemeinen proiectiven Gruppe der Geraden oder eines Strahlenbüschels ^,'''' i'^oject 



" . Gruppe de 



oder, allgemein gesagt, der einfach ausgedehnten Mannigfaltio-keit. 'in^-K^iieü 

 Wenn wir nämlich laitigkeit. 



^ == u, ^' = Ml 



setzen, so kommt nach (10) : 



/ii\ c -{- du 



d. L die Verhältnisse u werden bei der linearen homogenen Gruppe 

 unter einander transformiert vermöge der allgemeinen projectiven 

 Gruppe der einfachen Mannigfaltigkeit «. Dass u^ sich durch ii allein 

 ausdrückt, hat seinen geometrischen Grund darin, dass die Gruppe (10) 

 den Anfangspunkt invariant lässt und demnach die Strahlen 



^ = Const. 



X 



durch den Anfangspunkt unter einander vertauscht. Wir können kurz 

 sagen: Die Strahlen des Büschels durch den Anfangspunkt werden bei 

 der linearen homogenen Gruppe so transformiert, wie die Punkte der 

 Geraden bei der allgemeinen projectiven Gruppe der Geraden. (Vgl. die 

 Schlussbemerkung des § 3.) 



Jeder Transformation (10) der linearen homogenen Gruppe der 

 Punlcte (x, y) gehört dementsprechend eine ganz bestimmte Trans- 

 formation (1) der allgemeinen projectiven Gruppe der einfachen 

 Mannigfaltigkeit der Strahlen u zu. Sind also Ta, Tb zwei beliebige 

 Transformationen der Gruppe (10), deren Aufeinanderfolge der Trans- 



