136 Kapitel 6, § 4. 



formation T^ab) eben dieser Gruppe äquivalent ist, bezeichnen ferner 

 Sa, Sb die zu Ta, Th gehörigen Transformationen (11) der Strahlen u 

 und ist schliesslich die Aufeinanderfolge SaSb äquivalent der Trans- 

 formation S{ab) der Gruppe (11), so liegt es in der Natur des geome- 

 trischen Zusammenhanges der T und S, dass T^ab) die Strahlen des 

 Büschels u = Const. vermöge S(ab) transformiert. 



Danach leuchtet auch ein, dass jeder Untergruppe der linearen 

 homogenen Gruppe mit paarweis inversen Transformationen auch eine be- 

 stimmte Untergruppe der Gruppe (11) des Strahlenbüschels oder der ein- 

 fachen Mannigfaltigkeit u entspricht (die allerdings wenigergliedrig 

 sein kann) und dass auch die letztere paarweis inverse Transforma- 

 tionen ^ hat. 



Nun wissen wir aus Theorem 15 des § 2, dass eine in der 

 Gruppe (11) enthaltene Untergruppe mit paarweis inversen Transfor- 

 mationen entweder aus allen den Transformationen (11) besteht, die 

 sämtlich ein und denselben Strahl, und zwar jede nur diesen einen, 

 invariant lassen, oder aus allen denen, die zwei bestimmte Strahlen, 

 oder endlich aus allen denen besteht, die einen bestimmten Strahl in 

 Ruhe lassen, während jede der Transformationen ausser diesem einen 

 noch irgend einen anderen Strahl ungeändert lassen kann. 



Bestimmung Diese Bemerkungen verwerten wir, um alle in der linearen homo- 



der Unter- ' . 



gruppeu. genen Gruppe enthaltenen Untergruppen mit paarweis inversen Trans- 

 formationen zu bestimmen. Wollten wir direct zwischen den Coeffi- 

 cienten a, &, c, d der linearen homogenen Transformation 



x^ = ax -\- by, y^ = ex -{- dy 

 solche Relationen Sl{a, b, c, d) = festzusetzen suchen, durch welche 

 aus den oo^ Transformationen solche oo^ oder oo^ oder oo^ heraus- 

 gegriffen würden, die eine Gruppe für sich bilden, so würden wir 

 zu gewissen Functionalgleichungen für die Functionen Sl geführt 

 werden, deren Auswertung besondere Schwierigkeiten macht. Durch 

 Verwertung jedoch der gleichzeitigen Transformationen der Strahlen 

 durch den Anfangspunkt lässt sich das Problem ohne grosse Mühe 

 bewältigen, wie wir jetzt zeigen werden. Wir schicken dabei voraus, 

 dass wir von allen mit einander gleichberechtigten Untergruppen nur 

 eine, ihren Typus, zu bestimmen brauchen, um ohne weiteres alle zu 

 kennen. 



Durch eine lineare homogene Transformation aber lassen sich 

 zwei beliebige Strahlen des Büschels u = Const. in zwei bestimmte 

 Strahlen desselben überführen. Demnach sagen wir: Wir suchen 

 diejenigen Untergruppen der linearen Gruppe, bei denen 



