Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 137 



Ä) entweder alle Strahlen u == Const. 



B) oder nur ein (doppeltzählender) Strahl m = 



C) oder zwei Strahlen u = und u = oo 



D) oder ein Strahl ti = oo 



E) oder kein Strahl 



invariant bleiben. In diesen fünf Fällen erfährt u alle Transforma- 

 tionen von der Form : 



Ä) t«! == U 



B) H^ = M -f- m 



C) «1 = mu 



D) «1 == wn -f- >i 



TIS au + & • 



in denen also m, n, a, h, c, d willkürliche Parameter bezeichnen. Die 

 Fälle B, C, D, E entsprechen den in Theorem 15 des § 2 angegebenen 

 typischen Formen p; xp] p, xp-^ p, xp, x^p der allgemeinen projectiven 

 Gruppe, geschrieben in x statt u. 



Wir erledigen die fünf Fälle nach einander. 



¥ 



Ä) Hier ist Erster Fun. 



oder 



d. h., da x^ und y^ sich linear und homogen durch x, y ausdrücken 

 sollen ; 



Vi = QV, ^1 = 9^- 



Es ist dies die eingliedrige Gruppe : 



xp-\-yq 



i 



B) Hier ist zweiter 



^ Fall. 



also 

 daher : 



% = M + m, 

 2/i ^^ y + mx 



Xi X ' 



Q^, yx = Q{y + nix). 



m ist willkürlich. Ist q keine Function von m, sondern auch will- 

 kürlich, so ist dies eine zweigliedrige Untergruppe mit paar weis in- 

 versen Transformationen und kann auch so geschrieben werden : 



^1 = Q^, yi = Qy + ^^- 



