138 Kapitel 6, § 4. 



Ihre allgemeine infinitesimale Transformation erhält man, indem mau 

 p = 1 + adt, a = hdt setzt, in der Form 



a(xp + 1/q) + hxq. 

 Sie ist offenbar linear ableitbar aus: 



xq xp + yq 



Wenn aber zwischen q und m eine Relation besteht, wenn also die 

 gesuchte Gruppe nur eingliedrig ist, so muss diese sicher q enthalten, 

 denn sonst wäre m = Const., was ja ausgeschlossen ist. Sei also : 



Q = q)(m) 

 die Relation. Führen wir nun zwei der Transformationen, etwa: 

 Xi = (p(m)x, y^ = cp(m){y-i-mx), 

 X2 = cp {m^)x, , ^2 = 90 {m^) (y^ + m^ x,) 

 nach einander aus, so kommt: 



X, = (p{m)(p (tni)x, 2/2 = <P («0 9^ M iv + (w* + %) x) . 



Dies aber soll wieder eine Transformation der Untergruppe sein. Sie 

 muss daher die Gestalt haben: 



x,==(p{M)x, y^ = (p{M){y-]-Mx). 



Es ist aber 31 = m -\- m^, und (p muss die Functionalgleichung er- 

 füllen : 



(12) q>{m 4- m^ = (p{m)(p(mi). 



Durch Differentiation nach m resp. m^ folgt hieraus: 



d (p (m -\- mi) '[ \ f \ 



— d^ — = 9» H^^K), 



— d^^ — = 9^ W90 K). 

 Die linken Seiten sind beide gleich (p\m + m^ und also ist auch 



qp'(^) ^^ y (w»i) ^ 



qD(m) tf{m^ ' 



Demnach ist dieser Bruch eine bestimmte Zahl c und also: I 



log <p(m) ^cm -j- Const., | 



Setzen wir diesen Wert in die Functionalgleichung (12) ein, so kommt: 1 



also y = y^. Da <p{m) sicher verschieden von Null sein muss, so ist 1 

 y = \, und die Gleichungen der Gruppe lauten: | 



x^ = (f"^x, y^ = €f"*y -j- rtKf'^x. 1 



