Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 139 



Sie stellen in der That eine eingliedrige Gruppe mit paarweis inversen 

 Transformationen dar. Ihre infinitesimale Transformation ergiebt sich, 

 wenn m = dt gesetzt wird, in der Form 



cxp + {cy -\- x)q 

 oder: 



xq + c(xp + yq) 



C) Wir setzen jetzt: Dritter raii. 



«1 = mu 

 oder 



Xi X ' 



d. h. 



Besteht zwischen q und m keine Relation, so ist dies offenbar eine 

 zweigliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. Ihre all- 

 gemeine infinitesimale Transformation liefert die Annahme 9 = l-]-ad^, 

 m = 1 -\- hdt in der Form : 



a{xp -\-yq) + hyq. 

 Sie ist also linear aus xp + yq und yq oder also aus 



xp yq 



ableitbar. 



Wenn aber q eine Function des Parameters m ist, so ist die ge- 

 suchte Gruppe bloss eingliedrig. Sei also etwa : 



Q == t/,(m), 



so liefert die Aufeinanderfolge von : 



x^ = ^{m)x, ?/i = mxl}{m)y] 



x^ = t{m^)xi, y^ = m^rp{mi)y^ 

 die Transformation 



^2 = ip{rn)il){m^x, y^ = mm^T\}{ni)'^{m^y . 

 Sie soll auch der Gruppe angehören, d. h. die Form haben : 



x^ = i^{M)x, i/2 = Mt(M)y. 

 Es muss daher M == mm^ und ^ Lösung der Functionalgleichung 



(13) ^(wiWi) = ^{m) • T^(wi,) 



sein. Setzen wir 



log m = ^, log m^ = (ii 

 und 



t^(,„) = t/,(e^) = (p((i), t{mj) = T/;(e"0 = (p{(i,), 



so kommt: 



