Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 141 



erfüllt wird, so lassen alle diejenigen Transformationen unserer Gruppe 

 noch den Strahl m = invariant, für die w = ist. Alle diese 

 oo^ Transformationen : 



x^ = F{m, 0)a;, «/j = F{m^ 0)my 



bilden natürlich eine eingliedrige Untergruppe der gesuchten Gruppe 

 mit paarweis inversen Transformationen, bei der 



u^ == mu 



ist, die wir also schon unter C bestimmt haben. Sie hat danach die 

 Form: 



(15) Xi = m^x, yi = nf+^y. 



Unsere Gruppe (14) enthält also unter anderen diese oo^ Transfor- 

 mationen (15), in denen c eine bestimmte Zahl bedeutet. Andererseits 

 betrachten wir alle diejenigen oo' Transformationen unserer Gruppe, 

 welche nur den Strahl u = <x> invariant lassen, für die also 



u^ = u -\- n 



oder m = 1 ist. Dieselben bilden eine eingliedrige Untergruppe mit 

 paarweis inversen Transformationen, die wir unter B bestimmt haben: 



(16) Xi=e'"'x, 2/i = e""(?/ + ^^^) 



(wo jetzt n statt des dortigen m, a statt c gesetzt ist). Hierin be- 

 deutet a eine bestimmte Zahl. 



Nun muss die gesuchte Gruppe auch jede Transformation ent- 

 halten, die durch Aufeinanderfolge der Transformation (16) und einer 

 Transformation von der Form (15), etwa dieser: 



x,^ = mPx^, y^ = tn^'^^yi, 



hervorgeht. Es kommt: 



(17) iCg = We""a;, y^ = mP+'^€f''{y -\- nx), 



m und n sind hierin willkürlich. Diese Gleichungen stellen immer, 

 ob nun a und c Null sind oder nicht, oo^ und nicht nur oo^ Trans- 

 formationen dar, denn sie umfassen ja sicher die oc^ Transformationen 

 (15), wie auch die oo^ davon verschiedenen Transformationen (16). 

 Daher müssen die Gleichungen (17) alle oo^ Transformationen der ge- 

 suchten Gruppe darstellen. Führen wir nun zwei Transformationen 

 von der Form (17) nach einander aus : 



a?! = W(5""a;, i/i = m<^+^e""(?/ -f- na;); 



c (lUt c-\-\ ant/ I \ 



a?2 = Wie 'x^, y^ = m{^ e '(«/, + n^x^), 

 so ergiebt sich die Transformation: 



