Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 14H 



Jede zweigliedrige Gruppe, welche einen Strahl invariant lässt, enthält 

 oo^ Transformationen mit der Determinante 1, welche nur diesen einen 

 Strahl in Ruhe lassen. 



E) Wir kommen jetzt zur letzten Annahme : ^^if ' 



au -{- b 

 ^ cu -{- d 

 oder ~* 



^ = "y + ^ ^ 



iCj cy -J- dx ' 

 welche liefert: 



Im Gegensatz zu den obigen Fällen bedeuten hier a, h, c, d will- 

 kürliche Parameter, von denen übrigens, da es nur auf ihre Verhält- 

 nisse ankommt, etwa d = 1 angenommen werden kann : 



^1 = Q{(^y + x), Vi = Q{(^y + ^^)' 

 Entweder ist nun auch q völlig willkürlich. Diese Annahme liefert 

 die allgemeine lineare homogene Gruppe : 



xp yp xq yq 



Oder aber q ist eine Function von o, &, c: 



Alsdann ist die gesuchte Gruppe nur dreigliedrig. Betrachten wir 

 unter ihren 00^ Transformationen diejenigen 00^, bei denen ein be- 

 liebig aber bestimmt ausgewählter Strahl u invariant bleibt. Dieselben 

 müssen offenbar eine zweigliedrige Untergruppe mit paarweis inversen 

 Transformationen bilden, und, da bei ihnen ein Strahl invariant bleibt, 

 eine zweigliedrige Gruppe, die gleichberechtigt ist mit der unter D 

 bestimmten zweigliedrigen Gruppe. Aus der Schlussbemerkung zu D 

 folgt demnach : Die jetzt gesuchte Gruppe enthält c»^ Transforma- 

 tionen mit der Determinante 1, welche einen beliebig gewählten be- 

 stimmten Strahl u und nur diesen invariant lassen. Also umfasst sie, 

 da es cx)^ solche Strahlen giebt, 00^ Transformationen mit der Deter- 

 minante 1, deren jede nur einen (doppeltzählenden) Strahl in sich 

 überführt. Diese 00^ Transformationen sind zu einander paarweis 

 invers, bilden aber doch keine zweigliedrige Gruppe, denn weder unter 

 D noch unter C haben wir eine zweigliedrige Gruppe gefunden, deren 

 sämtliche Transformationen je nur einen Strahl in sich überführen. 

 Es giebt also factisch keine solche zweigliedrige Gruppe. Mit anderen 

 Worten : Führt man nach einer jener 00^ Transformationen eine 

 andere derselben aus, so kann man nicht stets wieder eine jener 



