144 Kapitel 5, § 4. 



cx)^ Transformationen erhalten. Es müssen sich so vielmehr mindestens 

 oo^ Transformationen ergeben. Jene oo^ Transformationen aber haben 

 die Determinante 1. Nach Satz 2, § 1 des 4. Kap., aber ist ihre Auf- 

 ' einanderfolge äquivalent mit einer Transformation, die ebenfalls die 

 Determinante 1 besitzt. Somit folgt: Die gesuchte Gruppe enthält 

 oo^ Transformationen mit der Determinante 1. Andererseits giebt es 

 unter den oo* Transformationen : 



Xi = ax -}- hy, y^ = ex ~\r dy 



gerade oo^, deren Determinante 



ad — hc = 1 



ist und dieselben bilden nach jenem citierten Satz für sich eine Gruppe 



mit offenbar paarweis inversen Transformationen. Also ist unser 



Ergebnis : Die gesuchte Untergruppe ist identisch mit der dreiglied- 



uutor- riaen Gruppe aller linearen liomoqenen Transformationen mit der Deter- 



fjruppe mit '^ ■'^'- "^ 



deri)etermi-,^^^-^ß^^g J^ifis, Nach § 2 dcs 4. Kap. folgt auch noch unmittelbar, dass 



uante Eins. • i i i • 



die allgemeinste infinitesimale Transformation derselben Imear aus 



xq xp — yq yp 



ableitbar ist. — 



Hiermit ist die Bestimmung der Untergruppen der linearen homo- 

 genen Gruppe zu Ende. Bei der unter B bestimmten eingliedrigen 



Gruppe 



x^ =: e'^^'a;, y^ = e'^"'y -\- me'^'^'^x 



ist noch zu bemerken, dass c durch Ausführung einer passenden linearen 

 homogenen Transformation — welche diese Gruppe in eine gleich- 

 berechtigte überführt — gleich 1 gemacht werden kann, sobald es 

 nicht gleich ist. Denn führt man vermöge 



neue Variabein ein, indem man analog 



setzt, so kommt: 



x^= e'^ "' X, y^ = e'^"''y -\- cm e" "' x', 



oder, wenn man cm mit m bezeichnet und die nun unnötigen Acceute 



streicht : 



x^ = e^x, y^ = e^y -j- me^"'X. 



Es ist dies die obige Gruppe, in der aber c = 1 gesetzt ist. Ihre 

 infinitesimale Transformation ist: 



xq-\- xp + yq . 



