Die lineare homogene Gruppe der Ebene. 145 



Die für c = hervorgehende Gruppe 



Xi=x, yi = y -\- nix 



hat die infinitesimale Transformation : 



\ xq \- 



Diese beiden Gruppen lassen sich nicht durch lineare homogene Trans- 

 formation in einander überführen. Die letzte nämlich enthält im Gegen- 

 satz zur ersten nur Transformationen S mit der Determinante 1, die 

 immer wieder in Transformationen mit der Determinante 1 übergehen, 

 wenn man vermöge einer linearen homogenen Transformation T neue 

 Variabein überführt. Denn dann kommt T—^8T (nach Satz 6, § 2 

 des Kap. 3), und diese hat, wenn T die Determinante z/ besitzt, nach 

 Satz 2, § 1 des Kap. 4, die Determinante : 



Es liegt ferner in der Natur der Sache, dass überhaupt keine zwei 

 der obenbestimmten Gruppentypen in einander durch lineare homogene 

 Transformation übergeführt werden können, da stets zwei gleichviel- 

 gliedrige ein verschiedenes Verhalten hinsichtlich der Transformation 

 des Büschels u = Const. zeigen, das nicht durch lineare Transformation 

 auszugleichen ist. 



Theorem 16: Jede continuierliche lineare homogene G-riippe'^^'-^^^l^^^- 

 in zwei Veränderlichen x, y mit paarweis inversen 'J'^'^i'^isfor-^^^^^^^^^^^^ 

 mationen ist durch Ausführung einer geeigneten linearen ^^ruppen. 

 homogenen Transformation auf einen der folgenden Typen 

 zurücTcführlar, in denen t, t^, t^ • • die willkürlichen Parameter 

 bezeichnen: 



4-gliedrig : 1) x^ = t^x -\- t^y, y^ = t^x + t^y, 

 3-gliedrig: 2) x^ = tiX -{- t^y, yi = tzX -\- t^y, 

 wo t^t^ — t^t^^ 1 ist. 

 3) x^ = t^x, yi = t,y + t^x, 

 2-gliedrig : A) Xi== t^x, yi== t^y -{- t^x, 



5) x^ == t^x, i/i ==t^y, 



6) x^ = tlx, !/i = tl'^\y + i,x), 

 1-gliedrig: 1) x^ == tx, yi = ty, 



8) x^ = e'ic, J^i = e*«/ -f- te^x, 

 ^) x^ = x, yi =y -{- tx, 

 10) Xi = t'x, Pi = t' + Uj. 



Lie, Continuierliche Gruppen. 10 



