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Kapitel 5, § 4. 



Die allgemeinste infinitesimale Transformation der betreffen- 

 den Gruppe ist jedesmal linear ahleithar aus den folgenden: 



1) xp yp xq yq 



2) 



xq xp — yq yp 



3) 



xp yq xq 



4) 



xq xp -\- yq 



5) 



xp yq 



6) 



cxp-^{c-{-l)yq xq 



7) xp-\-yq 8) xq-{-xp-\-yq 9) xq 10) cxp -\- (c -{- l)yq 



Die in 6) und 10) auftretenden Constanten c lassen sich, wie eine 

 nähere Untersuchung zeigt, nicht weiter specialisieren. 



Wir bemerken noch, dass wir später diese Untergruppen der all- 

 gemeinen linearen homogenen Gruppen an der Hand einer allgemeinen 

 Methode auf kürzerem Wege bestimmen werden. 



Die dreigliedrige Untergruppe: 



x^ == ax -{- hy, y^ = ex -\- dy, 



ad — hc == 1, 



specieiie führt den Namen der speciellen linearen homogenen Gruppe. Wir 

 Gruppe.' können uns die Aufgabe stellen, die Typen von Untergruppen der- 

 selben zu bestimmen. Dabei werden wir zwei solche Untergruppen 

 Gleich- derselben als gleichberechtigt innerhalb der speciellen linearen homogenen 



borechtigte m r 



Unter- Gruppe bczeichuen, welche durch eine lineare homogene Iranstorma- 

 derseiben. tiou mit dcr Determinante 1 in einander überführbar sind, und für jede 

 Schar gleichberechtigter einen Typus aufsuchen. 



Dabei ist Folgendes zu beachten: Ist T irgend eine Transforma- 

 tion der linearen homogenen Gruppe mit der Determinante ^, und be- 

 zeichnet man die Transformation 



x,=y^x, y,=yzly, 



welche die Determinante z/ hat, mit Tq, so ist offenbar T Tq~^ eine 

 Transformation mit der Determinante 1, die T heissen möge. Auch 

 ist Tq wie Tq~'^ mit jeder linearen homogenen Transformation vertausch- 

 bar. Wenn nun die Transformationen einer Untergruppe der speciellen 

 Gruppe mit S bezeichnet werden, und wenn diese Untergruppe inner- 

 halb der allgemeinen Gruppe gleichberechtigt ist mit der Untergruppe 

 27, etwa dadurch, dass die Ausführung der linearen homogenen Trans- 

 formation T mit Determinante ^ auf die S die E liefert: 



